Номер 312, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

312. a) Найдите с точностью до $1\text{ см}^2$ площадь равнобедренного треугольника, угол при вершине которого равен $120^\circ$, а радиус вписанной в него окружности – 5 см.

б) Площадь равнобедренного треугольника равна $1\text{ дм}^2$, а угол при его основании – $40^\circ$. Найдите с точностью до 0,1 дм радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

а) Найдите с точностью до 1 см² площадь равнобедренного треугольника, угол при вершине которого равен 120°, а радиус вписанной в него окружности – 5 см.

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Угол при вершине $\alpha = 120^\circ$.

Радиус вписанной окружности $r = 5$ см.

Найти:

Площадь $S$ с точностью до $1$ см$^2$.

Решение:

Пусть углы при основании равнобедренного треугольника равны $\beta$. Сумма углов в треугольнике $180^\circ$. Тогда $\alpha + 2\beta = 180^\circ$, откуда $2\beta = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$, и $\beta = 30^\circ$.

Для равнобедренного треугольника с углом при основании $\beta$ и радиусом вписанной окружности $r$, площадь $S$ можно найти по формуле: $S = r^2 \cot(\alpha/2) \cot^2(\beta/2)$, где $\alpha$ - угол при вершине.

В нашем случае $\alpha = 120^\circ$, значит $\alpha/2 = 60^\circ$. Угол при основании $\beta = 30^\circ$, значит $\beta/2 = 15^\circ$. Радиус $r = 5$ см.

Вычислим значения котангенсов:$\cot(60^\circ) = \frac{1}{\tan(60^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.$\cot(15^\circ) = \frac{1}{\tan(15^\circ)}$.Значение $\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)} = \frac{1 - 1/\sqrt{3}}{1 + 1/\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$.Умножим числитель и знаменатель на $(\sqrt{3}-1)$:$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3}-1)^2}{(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1)} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$.Тогда $\cot(15^\circ) = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3}$.

Теперь подставим эти значения в формулу для площади $S$:$S = r^2 \cot(\alpha/2) \cot^2(\beta/2) = 5^2 \cdot \cot(60^\circ) \cdot \cot^2(15^\circ)$.$S = 25 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (2 + \sqrt{3})^2$.$S = 25 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (2^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2) = 25 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (4 + 4\sqrt{3} + 3)$.$S = 25 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot (7 + 4\sqrt{3}) = 25 \left( \frac{7}{\sqrt{3}} + \frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \right)$.$S = 25 \left( \frac{7\sqrt{3}}{3} + 4 \right) = \frac{175\sqrt{3}}{3} + 100$.

Вычислим приближенное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:$S \approx 100 + \frac{175 \cdot 1.73205}{3} = 100 + \frac{303.10875}{3} \approx 100 + 101.03625 = 201.03625$ см$^2$.

Округлим до $1$ см$^2$: $S \approx 201$ см$^2$.

Ответ: $201$ см$^2$

б) Площадь равнобедренного треугольника равна 1 дм², а угол при его основании – 40°. Найдите с точностью до 0,1 дм радиус окружности, вписанной в этот треугольник.

Дано:

Равнобедренный треугольник.

Площадь $S = 1$ дм$^2$.

Угол при основании $\beta = 40^\circ$.

Найти:

Радиус вписанной окружности $r$ с точностью до $0.1$ дм.

Решение:

Пусть угол при вершине равнобедренного треугольника равен $\alpha$. Тогда $\alpha = 180^\circ - 2\beta = 180^\circ - 2 \cdot 40^\circ = 180^\circ - 80^\circ = 100^\circ$.

Используем ту же формулу, что и в части (а): $S = r^2 \cot(\alpha/2) \cot^2(\beta/2)$.

Подставим известные значения: $S = 1$ дм$^2$, $\alpha/2 = 100^\circ/2 = 50^\circ$, $\beta/2 = 40^\circ/2 = 20^\circ$.$1 = r^2 \cot(50^\circ) \cot^2(20^\circ)$.

Выразим $r^2$:$r^2 = \frac{1}{\cot(50^\circ) \cot^2(20^\circ)}$.

Используем тождество $\cot(x) = \frac{1}{\tan(x)}$:$r^2 = \frac{1}{\frac{1}{\tan(50^\circ)} \cdot \frac{1}{\tan^2(20^\circ)}} = \tan(50^\circ) \tan^2(20^\circ)$.

Тогда $r = \sqrt{\tan(50^\circ) \tan^2(20^\circ)} = \tan(20^\circ) \sqrt{\tan(50^\circ)}$.

Вычислим приближенные значения:$\tan(20^\circ) \approx 0.36397023$.$\tan(50^\circ) \approx 1.19175359$.$\sqrt{\tan(50^\circ)} \approx \sqrt{1.19175359} \approx 1.091674$.

Теперь вычислим $r$:$r \approx 0.36397023 \cdot 1.091674 \approx 0.397334$ дм.

Округлим до $0.1$ дм: $r \approx 0.4$ дм.

Ответ: $0.4$ дм