Номер 318, страница 139 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

318. Точка $A$ делит дугу $BC$ данной окружности на две равные дуги. Из этой точки проведены хорды $AD$ и $AK$, пересекающие хорду $BC$ соответственно в точках $M$ и $N$. Докажите, что около четырехугольника $DKNM$ можно описать окружность.

Дано:

• Окружность с точками $A, B, C, D, K$ на ней.
• Точка $A$ делит дугу $BC$ на две равные дуги, т.е. $m(\text{дуга } AB) = m(\text{дуга } AC)$.
• Хорды $AD$ и $AK$ проведены из точки $A$.
• Хорда $AD$ пересекает хорду $BC$ в точке $M$.
• Хорда $AK$ пересекает хорду $BC$ в точке $N$.

Найти:
Доказать, что около четырехугольника $DKNM$ можно описать окружность.

Решение:
Для того чтобы около четырехугольника можно было описать окружность (т.е. чтобы он был вписанным), необходимо и достаточно, чтобы сумма его противоположных углов была равна $180^\circ$. Рассмотрим четырехугольник $DKNM$. Его вершины перечислены в порядке следования, поэтому противоположными углами являются $\angle KDN$ и $\angle KNM$, а также $\angle DKN$ и $\angle DNM$. Докажем, что $\angle KDN + \angle KNM = 180^\circ$.

1. Рассмотрим угол $\angle KDN$. Этот угол является углом $\angle KDA$. Поскольку точки $K, D, A$ лежат на окружности, $\angle KDA$ является вписанным углом, опирающимся на дугу $KA$.
Следовательно, $m(\angle KDA) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA)$.

2. Рассмотрим угол $\angle KNM$. Точка $N$ является точкой пересечения хорд $AK$ и $BC$. Угол между двумя пересекающимися хордами равен полусумме мер дуг, заключенных между сторонами этого угла. Угол $\angle KNM$ является углом $\angle KNB$ (если $N$ находится между $B$ и $C$) или $\angle KNC$ (если $N$ находится вне отрезка $BC$). Пусть для общности $\angle KNM$ это угол $\angle ANB$ или его смежный. Согласно свойству, угол $\angle ANB$ равен полусумме дуг $AB$ и $KC$.
$m(\angle KNM) = m(\angle ANB) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$.

3. По условию задачи, точка $A$ делит дугу $BC$ на две равные дуги, что означает $m(\text{дуга } AB) = m(\text{дуга } AC)$. Обозначим эту меру дуги через $\alpha$: $m(\text{дуга } AB) = m(\text{дуга } AC) = \alpha$.

4. Подставим это в выражение для $\angle KNM$:
$m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (\alpha + m(\text{дуга } KC))$.

5. Теперь найдем сумму противоположных углов $\angle KDN$ и $\angle KNM$:
$m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA) + \frac{1}{2} (\alpha + m(\text{дуга } KC))$.
$m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } KA) + \alpha + m(\text{дуга } KC))$.

6. Заменим $\alpha$ на $m(\text{дуга } AB)$:
$m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$.

7. Рассмотрим сумму дуг в скобках: $m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$. Эти три дуги, взятые последовательно, составляют всю окружность, если точки $K, A, B, C$ расположены на окружности таким образом, что путь от $K$ к $A$, затем от $A$ к $B$, и затем от $B$ к $C$, а затем от $C$ к $K$ покрывает всю окружность.
Однако, если мы просто суммируем меры дуг, которые покрывают всю окружность: $m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } BK) = 360^\circ$.
Нам нужно $m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$.
Если точка $B$ лежит на дуге $KA$, то $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } KB) + m(\text{дуга } BA)$.
В этом случае, $m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} ((m(\text{дуга } KB) + m(\text{дуга } BA)) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$.
Это не $360^\circ$.

Давайте пересмотрим. Угол $KDN$ это $KDA$. Угол $KNM$ это $KNA$.
$m(\angle KNM) = m(\angle ANK)$ (угол, образованный хордами $AK$ и $BC$).
$m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$. (Это верно, $N$ - точка пересечения $AK$ и $BC$).
$m(\angle KDN) = m(\angle KDA) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA)$.
Сумма $m(\angle KDN) + m(\angle KNM) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$.
Эта сумма дуг $m(\text{дуга } KA) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$ не обязательно равна $360^\circ$. Давайте используем другую пару противоположных углов: $\angle DKN$ и $\angle DMN$.
$\angle DKN$ это $\angle AKD$. Это вписанный угол, опирающийся на дугу $AD$.
$m(\angle AKD) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } AD)$.
$\angle DMN$ это $\angle AMD$. Это угол между хордами $AD$ и $BC$, пересекающимися в $M$.
$m(\angle AMD) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AC) + m(\text{дуга } BD))$.
Тогда $m(\angle DKN) + m(\angle DMN) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } AD) + \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AC) + m(\text{дуга } BD))$.
Мы знаем, что $m(\text{дуга } AC) = m(\text{дуга } AB)$.
Значит, $m(\angle DKN) + m(\angle DMN) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AD) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } BD))$.
Сумма $m(\text{дуга } AD) + m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } BD)$ не обязательно равна $360^\circ$. Верный подход. Так как точка $A$ делит дугу $BC$ на две равные дуги, то $m(\text{дуга } AB) = m(\text{дуга } AC)$. Из этого следует, что равны вписанные углы, опирающиеся на эти дуги: $m(\angle ADB) = m(\angle AKC)$. $m(\angle ABC) = m(\angle ACB)$. Рассмотрим углы четырехугольника $DKNM$. Возьмем угол $\angle KNM$. Он является смежным с углом $\angle ANB$. $\angle KNM = 180^\circ - \angle ANB$. Угол $\angle ANB$ - это угол между хордами $AK$ и $BC$. $m(\angle ANB) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$. Значит, $m(\angle KNM) = 180^\circ - \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$. Рассмотрим угол $\angle KDM$. Это угол $\angle KDA$. Он является вписанным углом, опирающимся на дугу $KA$. $m(\angle KDA) = \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA)$. Нам нужно доказать, что $\angle KNM + \angle KDM = 180^\circ$. Подставим выражения для углов: $(180^\circ - \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))) + \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA) = 180^\circ$. $-\frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)) + \frac{1}{2} m(\text{дуга } KA) = 0$. $\frac{1}{2} m(\text{дуга } KA) = \frac{1}{2} (m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC))$. $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$. Эта формула сложения дуг $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } BK)$ верна, если точка $B$ лежит на дуге $KA$. Однако, это $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } AB) + m(\text{дуга } KC)$. Поскольку $m(\text{дуга } AC) = m(\text{дуга } AB)$, то $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } AC) + m(\text{дуга } KC)$. Это равенство справедливо, так как дуга $KA$ состоит из дуги $KC$ и дуги $CA$, то есть $K \to C \to A$ образует дугу $KA$ (если $C$ лежит между $K$ и $A$ по окружности). Это утверждение всегда верно, если точки на окружности расположены в порядке $K, C, A$. То есть, если $K, C, A$ идут в одном направлении по окружности, то $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } KC) + m(\text{дуга } CA)$. И так как $m(\text{дуга } CA) = m(\text{дуга } AB)$, мы получаем $m(\text{дуга } KA) = m(\text{дуга } KC) + m(\text{дуга } AB)$. Таким образом, мы доказали, что сумма противоположных углов $\angle KNM$ и $\angle KDM$ равна $180^\circ$. Следовательно, около четырехугольника $DKNM$ можно описать окружность.

Ответ: Доказано.