Номер 321, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

321. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, диагонали пересекаются в точке K под прямым углом, точка M – середина стороны AB (рисунок 173). Докажите, что прямая MK перпендикулярна хорде CD.

Рисунок 173

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$ под прямым углом, т.е. $\angle AKB = 90^\circ$.

Точка $M$ — середина стороны $AB$.

Найти:

Доказать, что прямая $MK$ перпендикулярна хорде $CD$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $AKB$. Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$ под прямым углом, $\triangle AKB$ является прямоугольным треугольником с гипотенузой $AB$ и прямым углом при вершине $K$ (т.е. $\angle AKB = 90^\circ$).

Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $MK = AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

Из равенства $MK = AM$ следует, что треугольник $AMK$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle MKA = \angle MAK$.

Угол $\angle MAK$ — это тот же угол, что и $\angle CAB$. То есть, $\angle MKA = \angle CAB$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle CAB$ и $\angle CDB$ опираются на дугу $CB$. Следовательно, $\angle CAB = \angle CDB$.

Из полученных равенств углов следует, что $\angle MKA = \angle CDB$. Обозначим этот угол как $\phi$. То есть, $\angle MKA = \angle CDB = \phi$.

Пусть прямая $MK$ пересекает хорду $CD$ в точке $P$. Нам нужно доказать, что $\angle KPC = 90^\circ$, что эквивалентно доказательству $\angle KPD = 90^\circ$ (как смежный угол к $\angle KPC$ или часть угла $CKD$).

Рассмотрим треугольник $KPD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны следующие углы или мы можем их выразить:

1. Угол $\angle KDP$: Это тот же угол, что и $\angle CDB$. Мы ранее установили, что $\angle CDB = \phi$. Значит, $\angle KDP = \phi$.

2. Угол $\angle PKD$: Этот угол является частью прямого угла $\angle AKD$. Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, $\angle AKD = 90^\circ$. Угол $\angle PKD$ можно выразить как разность $\angle AKD - \angle AKM$. Мы знаем, что $\angle AKM = \angle MKA = \phi$. Следовательно, $\angle PKD = 90^\circ - \phi$.

Теперь подставим эти значения в сумму углов треугольника $KPD$:

$\angle KPD + \angle KDP + \angle PKD = 180^\circ$

$\angle KPD + \phi + (90^\circ - \phi) = 180^\circ$

$\angle KPD + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle KPD = 180^\circ - 90^\circ$

$\angle KPD = 90^\circ$

Поскольку $\angle KPD = 90^\circ$, прямая $MK$ перпендикулярна хорде $CD$. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано.