Номер 323, страница 143 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

323. В описанном около окружности четырехугольнике сумма двух противоположных сторон равна 4,5 дм, а две другие стороны относятся как $2 : 3$. Найдите длины этих сторон.

Дано:

в описанном около окружности четырехугольнике сумма двух противоположных сторон: $S_1 = 4.5$ дм.

отношение двух других сторон: $\frac{S_2}{S_3} = \frac{2}{3}$.

Перевод в СИ:

$S_1 = 4.5 \text{ дм} = 4.5 \cdot 0.1 \text{ м} = 0.45 \text{ м}$.

Найти:

длины двух других сторон ($S_2, S_3$).

Решение:

по свойству четырехугольника, описанного около окружности, суммы противоположных сторон равны. если стороны четырехугольника обозначить $a, b, c, d$ в последовательном порядке, то справедливо равенство $a + c = b + d$.

дано, что сумма двух противоположных сторон равна $4.5$ дм. пусть эта сумма будет $a+c = 4.5$ дм.

из свойства описанного четырехугольника следует, что сумма двух других противоположных сторон $b+d$ также равна $4.5$ дм:

$b + d = 4.5 \text{ дм}$

также дано, что эти две другие стороны относятся как $2:3$. пусть $b$ и $d$ - это эти стороны:

$\frac{b}{d} = \frac{2}{3}$

выразим $b$ через $d$:

$b = \frac{2}{3} d$

подставим это выражение в уравнение для суммы $b+d$:

$\frac{2}{3}d + d = 4.5$

приведем $d$ к общему знаменателю и сложим:

$\left(\frac{2}{3} + 1\right)d = 4.5$

$\left(\frac{2}{3} + \frac{3}{3}\right)d = 4.5$

$\frac{5}{3}d = 4.5$

найдем значение $d$:

$d = 4.5 \cdot \frac{3}{5}$

$d = \frac{13.5}{5}$

$d = 2.7 \text{ дм}$

теперь найдем значение $b$, используя соотношение $b = \frac{2}{3} d$:

$b = \frac{2}{3} \cdot 2.7$

$b = 2 \cdot 0.9$

$b = 1.8 \text{ дм}$

проверим сумму найденных сторон: $1.8 \text{ дм} + 2.7 \text{ дм} = 4.5 \text{ дм}$, что соответствует условию задачи.

Ответ:

длины этих сторон составляют $1.8$ дм и $2.7$ дм.