Номер 327, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

327. а) Докажите, что если в четырехугольник вписана окружность, то его площадь равна произведению полупериметра на радиус этой окружности.

б) Найдите радиус вписанной в четырехугольник окружности, если сумма двух его противоположных сторон 12 см, а площадь этого четырехугольника равна $60 \text{ см}^2$.

a) Докажите, что если в четырехугольник вписана окружность, то его площадь равна произведению полупериметра на радиус этой окружности.

Доказательство:

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, в который вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Точки касания окружности со сторонами четырехугольника являются основаниями высот, проведенных из центра $O$ к этим сторонам. Длина каждой такой высоты равна радиусу $r$, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Соединим центр $O$ со всеми вершинами четырехугольника $A, B, C, D$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ разбивается на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$.

Площадь каждого из этих треугольников может быть найдена как половина произведения его основания на высоту, опущенную на это основание (которая равна радиусу $r$).

Площадь $\triangle AOB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r$

Площадь $\triangle BOC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$

Площадь $\triangle COD = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r$

Площадь $\triangle DOA = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot r$

Общая площадь четырехугольника $S$ равна сумме площадей этих четырех треугольников:

$S = \text{Площадь } \triangle AOB + \text{Площадь } \triangle BOC + \text{Площадь } \triangle COD + \text{Площадь } \triangle DOA$

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r + \frac{1}{2} \cdot DA \cdot r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}r \cdot (AB + BC + CD + DA)$

Сумма длин всех сторон четырехугольника $(AB + BC + CD + DA)$ представляет собой периметр четырехугольника $P$.

$S = \frac{1}{2}r \cdot P$

Полупериметр четырехугольника $p$ определяется как $p = \frac{P}{2}$.

Следовательно, $S = p \cdot r$.

Таким образом, площадь четырехугольника, в который вписана окружность, равна произведению его полупериметра на радиус этой окружности.

Ответ: Доказано.

б) Найдите радиус вписанной в четырехугольник окружности, если сумма двух его противоположных сторон 12 см, а площадь этого четырехугольника равна 60 см².

Дано:

Четырехугольник, в который вписана окружность.

Сумма двух противоположных сторон: $a + c = 12 \text{ см}$

Площадь четырехугольника: $S = 60 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

Сумма двух противоположных сторон: $a + c = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Площадь четырехугольника: $S = 60 \text{ см}^2 = 60 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 60 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.006 \text{ м}^2$

Найти:

Радиус вписанной окружности: $r$

Решение:

По условию, в четырехугольник вписана окружность. Это означает, что данный четырехугольник является описанным. Для любого описанного четырехугольника справедливо свойство: суммы длин противоположных сторон равны.

Пусть стороны четырехугольника $a, b, c, d$. Тогда, если $a$ и $c$ — противоположные стороны, а $b$ и $d$ — другие противоположные стороны, то для описанного четырехугольника выполняется равенство $a + c = b + d$.

В условии задачи дана сумма двух противоположных сторон, пусть это будет $a+c$. Тогда $a+c = 12 \text{ см}$.

Из свойства описанного четырехугольника следует, что и сумма других двух противоположных сторон $b+d$ также равна $12 \text{ см}$.

Периметр четырехугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c + d$

Мы можем перегруппировать члены: $P = (a + c) + (b + d)$

Подставляем известные значения:

$P = 12 \text{ см} + 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Полупериметр четырехугольника $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{24 \text{ см}}{2} = 12 \text{ см}$

Из пункта а) мы знаем, что площадь четырехугольника $S$, в который вписана окружность, равна произведению его полупериметра $p$ на радиус вписанной окружности $r$:

$S = p \cdot r$

Нам известны площадь $S = 60 \text{ см}^2$ и полупериметр $p = 12 \text{ см}$. Можем найти радиус $r$:

$r = \frac{S}{p}$

$r = \frac{60 \text{ см}^2}{12 \text{ см}}$

$r = 5 \text{ см}$

Для ответа в системе СИ:

$r = \frac{0.006 \text{ м}^2}{0.12 \text{ м}} = 0.05 \text{ м}$

Ответ: $5 \text{ см}$ (или $0.05 \text{ м}$).