Номер 332, страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

332. Докажите, что касательные к окружности, проведенные через вершины прямоугольника, вписанного в нее, образуют ромб. В каком случае этот ромб является квадратом?

Докажите, что касательные к окружности, проведенные через вершины прямоугольника, вписанного в нее, образуют ромб.

Дано:

Окружность с центром $O$.

Прямоугольник $ABCD$, вписанный в окружность, т.е. его вершины $A, B, C, D$ лежат на окружности.

Касательные к окружности проведены через каждую вершину: $l_A$ через $A$, $l_B$ через $B$, $l_C$ через $C$, $l_D$ через $D$.

Эти касательные пересекаются, образуя четырехугольник $PQRS$, где $P = l_A \cap l_B$, $Q = l_B \cap l_C$, $R = l_C \cap l_D$, $S = l_D \cap l_A$.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $PQRS$ является ромбом.

Решение:

Поскольку прямоугольник $ABCD$ вписан в окружность, его диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами этой окружности и проходят через центр $O$.

1. Касательная $l_A$ к окружности в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA$. Касательная $l_C$ к окружности в точке $C$ перпендикулярна радиусу $OC$. Поскольку точки $A, O, C$ лежат на одной прямой (диаметр $AC$), радиусы $OA$ и $OC$ образуют прямую. Следовательно, обе касательные $l_A$ и $l_C$ перпендикулярны одной и той же прямой ($AC$), а значит, они параллельны: $l_A \parallel l_C$.

2. Аналогично, касательная $l_B$ к окружности в точке $B$ перпендикулярна радиусу $OB$, а касательная $l_D$ к окружности в точке $D$ перпендикулярна радиусу $OD$. Поскольку точки $B, O, D$ лежат на одной прямой (диаметр $BD$), радиусы $OB$ и $OD$ образуют прямую. Следовательно, $l_B \parallel l_D$.

3. Таким образом, четырехугольник $PQRS$ имеет две пары параллельных сторон ($PS \parallel QR$ так как $l_A \parallel l_C$, и $PQ \parallel SR$ так как $l_B \parallel l_D$). Следовательно, $PQRS$ является параллелограммом.

4. Четырехугольник $PQRS$ является описанным около окружности, так как все его стороны являются касательными к окружности. Для любого описанного четырехугольника справедливо свойство, что суммы длин противоположных сторон равны: $PS + QR = PQ + RS$.

5. Поскольку $PQRS$ является параллелограммом, его противоположные стороны равны: $PS = QR$ и $PQ = RS$. Подставим это в равенство из пункта 4: $PS + PS = PQ + PQ$, что упрощается до $2PS = 2PQ$.

6. Отсюда следует, что $PS = PQ$.

7. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, четырехугольник $PQRS$ — ромб.

Ответ: Доказано, что касательные, проведенные через вершины прямоугольника, вписанного в окружность, образуют ромб.

В каком случае этот ромб является квадратом?

Дано:

Ромб $PQRS$, образованный касательными к окружности через вершины вписанного прямоугольника $ABCD$.

Найти:

Условие, при котором ромб $PQRS$ является квадратом.

Решение:

Ромб является квадратом тогда и только тогда, когда один из его углов равен $90^\circ$ (или, что эквивалентно, когда его диагонали равны).

Рассмотрим вершину $P$ ромба $PQRS$. Она является точкой пересечения касательных $l_A$ и $l_B$. $OA$ и $OB$ — радиусы, проведенные к точкам касания $A$ и $B$ соответственно. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому $\angle OAP = 90^\circ$ и $\angle OBP = 90^\circ$.

Сумма углов в четырехугольнике $OAPB$ равна $360^\circ$. Таким образом, $\angle APB + \angle AOB + \angle OAP + \angle OBP = 360^\circ$.

Подставляя известные углы, получаем $\angle APB + \angle AOB + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$, что приводит к $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$.

Чтобы ромб $PQRS$ был квадратом, его угол $\angle P$ (т.е. $\angle APB$) должен быть равен $90^\circ$.

Если $\angle APB = 90^\circ$, то из соотношения $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ следует, что $90^\circ + \angle AOB = 180^\circ$, откуда $\angle AOB = 90^\circ$.

Аналогично, если $\angle Q = 90^\circ$, то $\angle BOC = 90^\circ$. Если $\angle R = 90^\circ$, то $\angle COD = 90^\circ$. Если $\angle S = 90^\circ$, то $\angle DOA = 90^\circ$.

Таким образом, для того чтобы ромб $PQRS$ был квадратом, все центральные углы, стягиваемые сторонами прямоугольника, должны быть равны $90^\circ$: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Если $\angle AOB = 90^\circ$, то треугольник $AOB$ является прямоугольным и равнобедренным (так как $OA = OB = R$, где $R$ - радиус окружности). Следовательно, $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Если все центральные углы равны $90^\circ$, то все стороны прямоугольника $ABCD$ будут равны $R\sqrt{2}$.

Это означает, что прямоугольник $ABCD$ является квадратом ($AB = BC = CD = DA$).

И наоборот, если вписанный прямоугольник $ABCD$ является квадратом, то все его стороны равны. Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ равны и пересекаются в центре $O$, все треугольники $AOB, BOC, COD, DOA$ будут равны по трем сторонам (стороны прямоугольника и радиусы $R$). Следовательно, соответствующие центральные углы будут равны: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA$. Поскольку их сумма равна $360^\circ$, каждый из них будет равен $90^\circ$. Из равенства $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ тогда следует, что $\angle APB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку это верно для всех углов ромба, $PQRS$ будет квадратом.

Ответ: Ромб, образованный касательными, является квадратом тогда и только тогда, когда вписанный прямоугольник является квадратом.