Вопросы, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

ВОПРОСЫ

1. Какой многоугольник называется правильным многоугольником?

2. Докажите, что: а) около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность; б) в любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

3. Докажите, что центры окружностей, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, совпадают.

4. Что называется центром правильного многоугольника?

1. Какой многоугольник называется правильным многоугольником?

Правильным многоугольником называется выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны между собой и все углы равны между собой.

Ответ:

2. Докажите, что: а) около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность; б) в любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

а) около любого правильного многоугольника можно описать единственную окружность

Рассмотрим правильный n-угольник $A_1A_2...A_n$. По свойству правильного многоугольника, все его стороны равны ($A_1A_2 = A_2A_3 = ... = A_nA_1$), и все его внутренние углы равны. Построим серединные перпендикуляры к двум смежным сторонам, например, к $A_1A_2$ и $A_2A_3$. Эти перпендикуляры пересекутся в некоторой точке $O$. По свойству серединного перпендикуляра, точка $O$ равноудалена от вершин $A_1$ и $A_2$ (так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $A_1A_2$), то есть $OA_1 = OA_2$. Аналогично, $O$ равноудалена от вершин $A_2$ и $A_3$ (так как $O$ лежит на серединном перпендикуляре к $A_2A_3$), то есть $OA_2 = OA_3$. Отсюда следует, что $OA_1 = OA_2 = OA_3$. Продолжая это рассуждение для всех сторон многоугольника, мы обнаружим, что точка $O$ равноудалена от всех вершин $A_1, A_2, ..., A_n$. Таким образом, все вершины многоугольника лежат на окружности с центром $O$ и радиусом $R = OA_1$. Эта окружность называется описанной окружностью.

Уникальность: Центр описанной окружности всегда является точкой пересечения серединных перпендикуляров ко всем сторонам многоугольника. В случае правильного многоугольника все эти серединные перпендикуляры пересекаются в одной единственной точке, которая является центром многоугольника. Радиус описанной окружности однозначно определяется расстоянием от этой единственной точки до любой вершины. Следовательно, описанная окружность для правильного многоугольника единственна.

Ответ:

б) в любой правильный многоугольник можно вписать единственную окружность.

Пусть $O$ - центр правильного n-угольника, который мы нашли в части (а) как центр описанной окружности. Расстояние от точки $O$ до каждой стороны многоугольника равно высоте равнобедренного треугольника, образованного центром $O$ и двумя соседними вершинами многоугольника (например, треугольник $OA_1A_2$). Поскольку все такие треугольники ($ \Delta OA_1A_2, \Delta OA_2A_3, ..., \Delta OA_nA_1$) конгруэнтны (например, по трем сторонам: $R, R$ и сторона многоугольника $a$), их соответствующие высоты, опущенные из $O$ на стороны многоугольника, также равны. Пусть это общее расстояние равно $r$. Тогда окружность с центром $O$ и радиусом $r$ будет касаться всех сторон многоугольника, так как радиус, проведенный к точке касания, перпендикулярен касательной. Эта окружность называется вписанной окружностью.

Уникальность: Центр вписанной окружности всегда является точкой пересечения биссектрис всех углов многоугольника. В правильном многоугольнике все биссектрисы его углов пересекаются в одной единственной точке, которая является центром многоугольника (той же точкой $O$). Радиус вписанной окружности однозначно определяется расстоянием от этой единственной точки до любой стороны. Следовательно, вписанная окружность для правильного многоугольника единственна.

Ответ:

3. Докажите, что центры окружностей, описанной около правильного многоугольника и вписанной в него, совпадают.

Доказательство этого факта основано на свойствах симметрии правильного многоугольника. Пусть $O$ - центр описанной окружности правильного n-угольника. По определению, $O$ равноудалена от всех вершин многоугольника. Рассмотрим любую сторону многоугольника, например, $A_1A_2$. Треугольник $\Delta OA_1A_2$ является равнобедренным ($OA_1 = OA_2 = R$, где $R$ - радиус описанной окружности). Высота, опущенная из $O$ на сторону $A_1A_2$, является также медианой и биссектрисой угла $\angle A_1OA_2$. Длина этой высоты - это расстояние от $O$ до стороны $A_1A_2$. Поскольку все треугольники, образованные центром $O$ и соседними вершинами (например, $\Delta OA_1A_2, \Delta OA_2A_3$, и т.д.), конгруэнтны, то высоты, опущенные из $O$ на каждую из сторон, будут равны. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех сторон многоугольника. Следовательно, $O$ является также центром вписанной окружности.

Обратное утверждение: если $O'$ - центр вписанной окружности правильного n-угольника, то по определению $O'$ равноудалена от всех сторон многоугольника. Соединим $O'$ с каждой вершиной многоугольника. Эти отрезки являются биссектрисами углов многоугольника. Благодаря симметрии правильного многоугольника, точка $O'$ будет равноудалена от всех вершин. Следовательно, $O'$ является также центром описанной окружности.

Поскольку центр описанной окружности единственен и центр вписанной окружности единственен (как доказано в пункте 2), и мы показали, что центр описанной окружности является центром вписанной, и наоборот, то эти центры совпадают.

Ответ:

4. Что называется центром правильного многоугольника?

Центром правильного многоугольника называется общая точка, которая является центром как описанной около него окружности, так и вписанной в него окружности. Эта точка также является центром его симметрии.

Ответ: