Номер 328, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

этого четырехугольника равна 80 см ?

328. В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность радиусом 1,7 см. Известно, что $AB : CD = 2 : 3$, $AD : BC = 2 : 1$. Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна $12,75 \text{ см}^2$.

Дано:

Радиус вписанной окружности $r = 1.7$ см.

Площадь четырехугольника $S = 12.75$ см$^2$.

Соотношения сторон: $AB : CD = 2 : 3$ и $AD : BC = 2 : 1$.

Перевод в СИ:

$r = 1.7 \, \text{см} = 1.7 \cdot 10^{-2} \, \text{м} = 0.017 \, \text{м}$.

$S = 12.75 \, \text{см}^2 = 12.75 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 0.001275 \, \text{м}^2$.

Найти:

$AB, BC, CD, AD$.

Решение:

Для четырехугольника $ABCD$, в который вписана окружность, его площадь $S$ можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ - полупериметр четырехугольника, а $r$ - радиус вписанной окружности.

Выразим полупериметр $p$ из этой формулы:

$p = \frac{S}{r}$

Подставим известные значения:

$p = \frac{12.75 \, \text{см}^2}{1.7 \, \text{см}} = 7.5 \, \text{см}$.

Для любого четырехугольника, в который можно вписать окружность (касательного четырехугольника), выполняется свойство: суммы длин противоположных сторон равны. То есть $AB + CD = BC + AD$.

Также полупериметр $p$ определяется как половина суммы всех сторон: $p = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}$.

Из свойства $AB + CD = BC + AD$ и определения полупериметра следует, что $AB + CD = p$ и $BC + AD = p$.

Таким образом, $AB + CD = 7.5 \, \text{см}$ и $BC + AD = 7.5 \, \text{см}$.

Используем данные соотношения сторон:

Из соотношения $AB : CD = 2 : 3$ можно записать $AB = 2k$ и $CD = 3k$ для некоторого коэффициента $k$.

Из соотношения $AD : BC = 2 : 1$ можно записать $AD = 2m$ и $BC = m$ для некоторого коэффициента $m$.

Подставим эти выражения в уравнения, полученные из свойства полупериметра:

Для сторон $AB$ и $CD$:

$AB + CD = p$

$2k + 3k = 7.5$

$5k = 7.5$

$k = \frac{7.5}{5} = 1.5$

Теперь найдем длины сторон $AB$ и $CD$:

$AB = 2k = 2 \cdot 1.5 \, \text{см} = 3 \, \text{см}$.

$CD = 3k = 3 \cdot 1.5 \, \text{см} = 4.5 \, \text{см}$.

Для сторон $AD$ и $BC$:

$AD + BC = p$

$2m + m = 7.5$

$3m = 7.5$

$m = \frac{7.5}{3} = 2.5$

Теперь найдем длины сторон $AD$ и $BC$:

$BC = m = 2.5 \, \text{см}$.

$AD = 2m = 2 \cdot 2.5 \, \text{см} = 5 \, \text{см}$.

Проверим суммы противоположных сторон:

$AB + CD = 3 \, \text{см} + 4.5 \, \text{см} = 7.5 \, \text{см}$.

$BC + AD = 2.5 \, \text{см} + 5 \, \text{см} = 7.5 \, \text{см}$.

Суммы равны, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ:

Стороны четырехугольника равны $AB = 3$ см, $BC = 2.5$ см, $CD = 4.5$ см, $AD = 5$ см.