Номер 325, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

325. Около окружности описана равнобедренная трапеция.

Докажите, что ее:

а) боковая сторона равна среднему арифметическому оснований: $c = \frac{a+b}{2}$

б) высота равна среднему геометрическому оснований: $h = \sqrt{ab}$

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$. Окружность вписана в трапецию. Основания: $AD = a$, $BC = b$. Боковые стороны: $AB = CD = c$. Высота трапеции: $h$.

Найти:

а) Доказать, что боковая сторона $c$ равна среднему арифметическому оснований: $c = \frac{a+b}{2}$. б) Доказать, что высота $h$ равна среднему геометрическому оснований: $h = \sqrt{ab}$.

Решение:

Основное свойство многоугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции $ABCD$ это означает: $AB + CD = AD + BC$

Так как трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD = c$. Основания трапеции обозначим как $AD = a$ и $BC = b$.

Подставим эти обозначения в равенство сумм противоположных сторон: $c + c = a + b$ $2c = a + b$

a) боковая сторона равна среднему арифметическому оснований

Из полученного равенства $2c = a + b$ напрямую следует, что: $c = \frac{a+b}{2}$

Это доказывает, что боковая сторона равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна среднему арифметическому ее оснований.

Ответ: $c = \frac{a+b}{2}$.

б) высота равна среднему геометрическому оснований

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$. Опустим высоты $BE$ и $CF$ из вершин $B$ и $C$ на большее основание $AD$. Тогда $BE = CF = h$, и $E$, $F$ лежат на $AD$.

Поскольку трапеция равнобедренная, отрезки $AE$ и $FD$ равны и могут быть найдены как: $AE = FD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a-b}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AE^2 + BE^2$ $c^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2$

Из пункта а) мы знаем, что $c = \frac{a+b}{2}$. Подставим это выражение для $c$ в уравнение Пифагора: $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2$

Теперь выразим $h^2$: $h^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ $h^2 = \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4}$ $h^2 = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$

Применим алгебраическую формулу разности квадратов: $(X+Y)^2 - (X-Y)^2 = 4XY$. В нашем случае $X=a$ и $Y=b$, следовательно: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

Подставим это обратно в выражение для $h^2$: $h^2 = \frac{4ab}{4}$ $h^2 = ab$

Так как высота $h$ должна быть положительной, берем квадратный корень: $h = \sqrt{ab}$

Это доказывает, что высота равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна среднему геометрическому ее оснований.

Ответ: $h = \sqrt{ab}$.