Номер 320, страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

320. Трапеция с основаниями, равными 6 дм, 8 дм и высотой 1 дм, вписана в окружность. Найдите ее радиус.

Дано:

Трапеция вписана в окружность.

Основания: $b_1 = 6$ дм, $b_2 = 8$ дм

Высота: $h = 1$ дм

Перевод в СИ:

$b_1 = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$b_2 = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$h = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности $R$.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Обозначим длины оснований как $b_1$ и $b_2$, и высоту как $h$.

Пусть большее основание $b_2 = 8$ дм, а меньшее основание $b_1 = 6$ дм. Высота $h = 1$ дм.

Для удобства расположим трапецию в декартовой системе координат. Пусть середина большего основания совпадает с началом координат $(0,0)$. Тогда вершины большего основания будут иметь координаты $A(-b_2/2, 0)$ и $B(b_2/2, 0)$.

$A(-8/2, 0) = A(-4, 0)$

$B(8/2, 0) = B(4, 0)$

Меньшее основание находится на расстоянии $h$ от большего основания. Его середина также лежит на оси y. Тогда вершины меньшего основания будут иметь координаты $C(-b_1/2, h)$ и $D(b_1/2, h)$.

$C(-6/2, 1) = C(-3, 1)$

$D(6/2, 1) = D(3, 1)$

Центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции, лежит на оси симметрии трапеции. В нашей системе координат осью симметрии является ось y. Пусть центр окружности имеет координаты $(0, k)$.

Радиус $R$ окружности - это расстояние от центра $(0, k)$ до любой из вершин трапеции.

Используем вершину $B(4, 0)$ для составления первого уравнения для $R^2$ (по теореме Пифагора):

$R^2 = (4 - 0)^2 + (0 - k)^2 = 4^2 + (-k)^2 = 16 + k^2 \quad (1)$

Теперь используем вершину $D(3, 1)$ для составления второго уравнения для $R^2$:

$R^2 = (3 - 0)^2 + (1 - k)^2 = 3^2 + (1 - k)^2 = 9 + (1 - k)^2 \quad (2)$

Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как они обе равны $R^2$:

$16 + k^2 = 9 + (1 - k)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$16 + k^2 = 9 + (1 - 2k + k^2)$

$16 + k^2 = 10 - 2k + k^2$

Вычтем $k^2$ из обеих частей уравнения:

$16 = 10 - 2k$

Перенесем $10$ в левую часть уравнения:

$16 - 10 = -2k$

$6 = -2k$

Найдем значение $k$:

$k = -6 / 2$

$k = -3$

Теперь подставим найденное значение $k = -3$ в уравнение (1) для нахождения $R^2$:

$R^2 = 16 + k^2 = 16 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$

Таким образом, радиус $R$ равен:

$R = \sqrt{25}$

$R = 5$ дм.

Ответ:

$5$ дм