Страница 140 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

320. Трапеция с основаниями, равными 6 дм, 8 дм и высотой 1 дм, вписана в окружность. Найдите ее радиус.

Дано:

Трапеция вписана в окружность.

Основания: $b_1 = 6$ дм, $b_2 = 8$ дм

Высота: $h = 1$ дм

Перевод в СИ:

$b_1 = 6 \text{ дм} = 0.6 \text{ м}$

$b_2 = 8 \text{ дм} = 0.8 \text{ м}$

$h = 1 \text{ дм} = 0.1 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности $R$.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она является равнобедренной. Обозначим длины оснований как $b_1$ и $b_2$, и высоту как $h$.

Пусть большее основание $b_2 = 8$ дм, а меньшее основание $b_1 = 6$ дм. Высота $h = 1$ дм.

Для удобства расположим трапецию в декартовой системе координат. Пусть середина большего основания совпадает с началом координат $(0,0)$. Тогда вершины большего основания будут иметь координаты $A(-b_2/2, 0)$ и $B(b_2/2, 0)$.

$A(-8/2, 0) = A(-4, 0)$

$B(8/2, 0) = B(4, 0)$

Меньшее основание находится на расстоянии $h$ от большего основания. Его середина также лежит на оси y. Тогда вершины меньшего основания будут иметь координаты $C(-b_1/2, h)$ и $D(b_1/2, h)$.

$C(-6/2, 1) = C(-3, 1)$

$D(6/2, 1) = D(3, 1)$

Центр окружности, описанной около равнобедренной трапеции, лежит на оси симметрии трапеции. В нашей системе координат осью симметрии является ось y. Пусть центр окружности имеет координаты $(0, k)$.

Радиус $R$ окружности - это расстояние от центра $(0, k)$ до любой из вершин трапеции.

Используем вершину $B(4, 0)$ для составления первого уравнения для $R^2$ (по теореме Пифагора):

$R^2 = (4 - 0)^2 + (0 - k)^2 = 4^2 + (-k)^2 = 16 + k^2 \quad (1)$

Теперь используем вершину $D(3, 1)$ для составления второго уравнения для $R^2$:

$R^2 = (3 - 0)^2 + (1 - k)^2 = 3^2 + (1 - k)^2 = 9 + (1 - k)^2 \quad (2)$

Приравняем правые части уравнений (1) и (2), так как они обе равны $R^2$:

$16 + k^2 = 9 + (1 - k)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$16 + k^2 = 9 + (1 - 2k + k^2)$

$16 + k^2 = 10 - 2k + k^2$

Вычтем $k^2$ из обеих частей уравнения:

$16 = 10 - 2k$

Перенесем $10$ в левую часть уравнения:

$16 - 10 = -2k$

$6 = -2k$

Найдем значение $k$:

$k = -6 / 2$

$k = -3$

Теперь подставим найденное значение $k = -3$ в уравнение (1) для нахождения $R^2$:

$R^2 = 16 + k^2 = 16 + (-3)^2 = 16 + 9 = 25$

Таким образом, радиус $R$ равен:

$R = \sqrt{25}$

$R = 5$ дм.

Ответ:

$5$ дм

321. В четырехугольнике ABCD, вписанном в окружность, диагонали пересекаются в точке K под прямым углом, точка M – середина стороны AB (рисунок 173). Докажите, что прямая MK перпендикулярна хорде CD.

Рисунок 173

Дано:

Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$ под прямым углом, т.е. $\angle AKB = 90^\circ$.

Точка $M$ — середина стороны $AB$.

Найти:

Доказать, что прямая $MK$ перпендикулярна хорде $CD$.

Решение:

Рассмотрим треугольник $AKB$. Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$ под прямым углом, $\triangle AKB$ является прямоугольным треугольником с гипотенузой $AB$ и прямым углом при вершине $K$ (т.е. $\angle AKB = 90^\circ$).

Точка $M$ является серединой гипотенузы $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $MK = AM = MB = \frac{1}{2}AB$.

Из равенства $MK = AM$ следует, что треугольник $AMK$ является равнобедренным. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому $\angle MKA = \angle MAK$.

Угол $\angle MAK$ — это тот же угол, что и $\angle CAB$. То есть, $\angle MKA = \angle CAB$.

Поскольку четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность, углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны. Углы $\angle CAB$ и $\angle CDB$ опираются на дугу $CB$. Следовательно, $\angle CAB = \angle CDB$.

Из полученных равенств углов следует, что $\angle MKA = \angle CDB$. Обозначим этот угол как $\phi$. То есть, $\angle MKA = \angle CDB = \phi$.

Пусть прямая $MK$ пересекает хорду $CD$ в точке $P$. Нам нужно доказать, что $\angle KPC = 90^\circ$, что эквивалентно доказательству $\angle KPD = 90^\circ$ (как смежный угол к $\angle KPC$ или часть угла $CKD$).

Рассмотрим треугольник $KPD$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Нам известны следующие углы или мы можем их выразить:

1. Угол $\angle KDP$: Это тот же угол, что и $\angle CDB$. Мы ранее установили, что $\angle CDB = \phi$. Значит, $\angle KDP = \phi$.

2. Угол $\angle PKD$: Этот угол является частью прямого угла $\angle AKD$. Поскольку диагонали пересекаются под прямым углом, $\angle AKD = 90^\circ$. Угол $\angle PKD$ можно выразить как разность $\angle AKD - \angle AKM$. Мы знаем, что $\angle AKM = \angle MKA = \phi$. Следовательно, $\angle PKD = 90^\circ - \phi$.

Теперь подставим эти значения в сумму углов треугольника $KPD$:

$\angle KPD + \angle KDP + \angle PKD = 180^\circ$

$\angle KPD + \phi + (90^\circ - \phi) = 180^\circ$

$\angle KPD + 90^\circ = 180^\circ$

$\angle KPD = 180^\circ - 90^\circ$

$\angle KPD = 90^\circ$

Поскольку $\angle KPD = 90^\circ$, прямая $MK$ перпендикулярна хорде $CD$. Что и требовалось доказать.

Ответ:

Доказано.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАДАНИЕ

Постройте окружность и опишите около нее четырехугольник и измерьте длины его сторон. Сравните суммы длин противоположных сторон построенного четырехугольника.

Дано: окружность, описанный около нее произвольный четырехугольник.

Найти: сравнить суммы длин противоположных сторон построенного четырехугольника.

Решение:
Для выполнения этого практического задания необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертите на листе бумаги окружность любого радиуса с помощью циркуля. Отметьте ее центр.

2. Опишите около этой окружности четырехугольник. Для этого проведите к окружности четыре касательные таким образом, чтобы они пересеклись и образовали замкнутый четырехугольник. Важно, чтобы каждая сторона четырехугольника была касательной к окружности. Окружность, таким образом, будет вписана в четырехугольник, а сам четырехугольник является описанным около окружности (или тангенциальным четырехугольником).

3. Измерьте длины всех четырех сторон построенного четырехугольника с помощью линейки. Обозначьте стороны как $a, b, c, d$ в порядке следования (например, $a$ и $c$ - противоположные стороны, $b$ и $d$ - другие противоположные стороны).

4. Вычислите сумму длин одной пары противоположных сторон ($a+c$) и сумму длин другой пары противоположных сторон ($b+d$).

5. Сравните полученные суммы. Согласно теореме Пи́то, которая является ключевой для описанных четырехугольников, суммы длин противоположных сторон такого четырехугольника равны. То есть, должно выполняться равенство $a+c = b+d$. Незначительные отклонения могут возникнуть из-за погрешностей при построении и измерении.

Ответ: суммы длин противоположных сторон построенного четырехугольника будут равны, то есть $a+c = b+d$, согласно теореме Пи́то.