Страница 145 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

331. Постройте с помощью циркуля и линейки квадрат:
а) вписанный в данную окружность;
б) описанный около данной окружности.

а) вписанный в данную окружность

Дано

Дана окружность с центром $O$ и произвольным радиусом $R$.

Найти

Построить квадрат, вписанный в данную окружность.

Решение

Для построения квадрата, вписанного в данную окружность, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проведем произвольную окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

2. Проведем через центр $O$ произвольный диаметр $AB$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности.

3. Построим диаметр $CD$, перпендикулярный диаметру $AB$ и проходящий через центр $O$. Для этого:

a) Установим ножку циркуля в точку $A$ и проведем дугу радиусом, большим, чем $AO$.

b) Сохраняя тот же радиус, установим ножку циркуля в точку $B$ и проведем еще одну дугу, пересекающую первую в двух точках (например, $P$ и $Q$).

c) С помощью линейки проведем прямую через точки $P$ и $Q$. Эта прямая пройдет через центр $O$ и будет перпендикулярна диаметру $AB$.

d) Точки пересечения этой перпендикулярной прямой с окружностью обозначим $C$ и $D$.

4. Точки $A, C, B, D$ являются вершинами искомого квадрата. Соединим их последовательно отрезками: $AC$, $CB$, $BD$, $DA$.

Полученный четырехугольник $ACBD$ является квадратом, так как его диагонали $AB$ и $CD$ равны (оба являются диаметрами окружности), перпендикулярны друг другу и делятся пополам в точке пересечения $O$.

Ответ: Квадрат $ACBD$ построен.

б) описанный около данной окружности

Дано

Дана окружность с центром $O$ и произвольным радиусом $R$.

Найти

Построить квадрат, описанный около данной окружности.

Решение

Для построения квадрата, описанного около данной окружности, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Проведем произвольную окружность с центром $O$ и радиусом $R$.

2. Проведем через центр $O$ произвольный диаметр $AB$. Точки $A$ и $B$ лежат на окружности.

3. Построим диаметр $CD$, перпендикулярный диаметру $AB$ и проходящий через центр $O$. (Шаги аналогичны пункту 3а-3d из части а), при этом $C$ и $D$ также лежат на окружности).

4. Через каждую из четырех точек $A, B, C, D$ (концы перпендикулярных диаметров) проведем прямые, перпендикулярные соответствующим радиусам $OA, OB, OC, OD$. Эти прямые будут касательными к окружности в этих точках.

a) Построим прямую $L_A$, перпендикулярную $AB$ в точке $A$.

b) Построим прямую $L_B$, перпендикулярную $AB$ в точке $B$.

c) Построим прямую $L_C$, перпендикулярную $CD$ в точке $C$.

d) Построим прямую $L_D$, перпендикулярную $CD$ в точке $D$.

Метод построения перпендикуляра к прямой через точку на ней (например, к $AB$ в точке $A$): Отложим на прямой $AB$ отрезки $AX$ и $AY$ равной длины по обе стороны от точки $A$. Из точек $X$ и $Y$ проведем две дуги равного, достаточно большого радиуса, которые пересекутся в точке $Z$. Прямая $AZ$ будет перпендикулярна $AB$ в точке $A$. Повторим этот процесс для точек $B, C, D$.

5. Эти четыре касательные $L_A, L_B, L_C, L_D$ пересекутся, образуя четырехугольник.

Полученный четырехугольник является квадратом, так как его стороны касаются окружности, и стороны попарно параллельны (например, $L_A$ параллельна $L_B$, а $L_C$ параллельна $L_D$), а соседние стороны перпендикулярны (например, $L_A$ перпендикулярна $L_C$). Расстояние между параллельными касательными ($L_A$ и $L_B$, или $L_C$ и $L_D$) равно диаметру окружности $2R$. Таким образом, все стороны полученного четырехугольника равны $2R$, и все углы прямые.

Ответ: Описанный квадрат построен.

332. Докажите, что касательные к окружности, проведенные через вершины прямоугольника, вписанного в нее, образуют ромб. В каком случае этот ромб является квадратом?

Докажите, что касательные к окружности, проведенные через вершины прямоугольника, вписанного в нее, образуют ромб.

Дано:

Окружность с центром $O$.

Прямоугольник $ABCD$, вписанный в окружность, т.е. его вершины $A, B, C, D$ лежат на окружности.

Касательные к окружности проведены через каждую вершину: $l_A$ через $A$, $l_B$ через $B$, $l_C$ через $C$, $l_D$ через $D$.

Эти касательные пересекаются, образуя четырехугольник $PQRS$, где $P = l_A \cap l_B$, $Q = l_B \cap l_C$, $R = l_C \cap l_D$, $S = l_D \cap l_A$.

Найти:

Доказать, что четырехугольник $PQRS$ является ромбом.

Решение:

Поскольку прямоугольник $ABCD$ вписан в окружность, его диагонали $AC$ и $BD$ являются диаметрами этой окружности и проходят через центр $O$.

1. Касательная $l_A$ к окружности в точке $A$ перпендикулярна радиусу $OA$. Касательная $l_C$ к окружности в точке $C$ перпендикулярна радиусу $OC$. Поскольку точки $A, O, C$ лежат на одной прямой (диаметр $AC$), радиусы $OA$ и $OC$ образуют прямую. Следовательно, обе касательные $l_A$ и $l_C$ перпендикулярны одной и той же прямой ($AC$), а значит, они параллельны: $l_A \parallel l_C$.

2. Аналогично, касательная $l_B$ к окружности в точке $B$ перпендикулярна радиусу $OB$, а касательная $l_D$ к окружности в точке $D$ перпендикулярна радиусу $OD$. Поскольку точки $B, O, D$ лежат на одной прямой (диаметр $BD$), радиусы $OB$ и $OD$ образуют прямую. Следовательно, $l_B \parallel l_D$.

3. Таким образом, четырехугольник $PQRS$ имеет две пары параллельных сторон ($PS \parallel QR$ так как $l_A \parallel l_C$, и $PQ \parallel SR$ так как $l_B \parallel l_D$). Следовательно, $PQRS$ является параллелограммом.

4. Четырехугольник $PQRS$ является описанным около окружности, так как все его стороны являются касательными к окружности. Для любого описанного четырехугольника справедливо свойство, что суммы длин противоположных сторон равны: $PS + QR = PQ + RS$.

5. Поскольку $PQRS$ является параллелограммом, его противоположные стороны равны: $PS = QR$ и $PQ = RS$. Подставим это в равенство из пункта 4: $PS + PS = PQ + PQ$, что упрощается до $2PS = 2PQ$.

6. Отсюда следует, что $PS = PQ$.

7. Параллелограмм, у которого смежные стороны равны, является ромбом. Следовательно, четырехугольник $PQRS$ — ромб.

Ответ: Доказано, что касательные, проведенные через вершины прямоугольника, вписанного в окружность, образуют ромб.

В каком случае этот ромб является квадратом?

Дано:

Ромб $PQRS$, образованный касательными к окружности через вершины вписанного прямоугольника $ABCD$.

Найти:

Условие, при котором ромб $PQRS$ является квадратом.

Решение:

Ромб является квадратом тогда и только тогда, когда один из его углов равен $90^\circ$ (или, что эквивалентно, когда его диагонали равны).

Рассмотрим вершину $P$ ромба $PQRS$. Она является точкой пересечения касательных $l_A$ и $l_B$. $OA$ и $OB$ — радиусы, проведенные к точкам касания $A$ и $B$ соответственно. Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания, поэтому $\angle OAP = 90^\circ$ и $\angle OBP = 90^\circ$.

Сумма углов в четырехугольнике $OAPB$ равна $360^\circ$. Таким образом, $\angle APB + \angle AOB + \angle OAP + \angle OBP = 360^\circ$.

Подставляя известные углы, получаем $\angle APB + \angle AOB + 90^\circ + 90^\circ = 360^\circ$, что приводит к $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$.

Чтобы ромб $PQRS$ был квадратом, его угол $\angle P$ (т.е. $\angle APB$) должен быть равен $90^\circ$.

Если $\angle APB = 90^\circ$, то из соотношения $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ следует, что $90^\circ + \angle AOB = 180^\circ$, откуда $\angle AOB = 90^\circ$.

Аналогично, если $\angle Q = 90^\circ$, то $\angle BOC = 90^\circ$. Если $\angle R = 90^\circ$, то $\angle COD = 90^\circ$. Если $\angle S = 90^\circ$, то $\angle DOA = 90^\circ$.

Таким образом, для того чтобы ромб $PQRS$ был квадратом, все центральные углы, стягиваемые сторонами прямоугольника, должны быть равны $90^\circ$: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Если $\angle AOB = 90^\circ$, то треугольник $AOB$ является прямоугольным и равнобедренным (так как $OA = OB = R$, где $R$ - радиус окружности). Следовательно, $AB = \sqrt{OA^2 + OB^2} = \sqrt{R^2 + R^2} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Если все центральные углы равны $90^\circ$, то все стороны прямоугольника $ABCD$ будут равны $R\sqrt{2}$.

Это означает, что прямоугольник $ABCD$ является квадратом ($AB = BC = CD = DA$).

И наоборот, если вписанный прямоугольник $ABCD$ является квадратом, то все его стороны равны. Поскольку диагонали $AC$ и $BD$ равны и пересекаются в центре $O$, все треугольники $AOB, BOC, COD, DOA$ будут равны по трем сторонам (стороны прямоугольника и радиусы $R$). Следовательно, соответствующие центральные углы будут равны: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA$. Поскольку их сумма равна $360^\circ$, каждый из них будет равен $90^\circ$. Из равенства $\angle APB + \angle AOB = 180^\circ$ тогда следует, что $\angle APB = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку это верно для всех углов ромба, $PQRS$ будет квадратом.

Ответ: Ромб, образованный касательными, является квадратом тогда и только тогда, когда вписанный прямоугольник является квадратом.

333. Трапеция разделена на три трапеции отрезками, параллельными ее основаниям, так, что в каждую из них можно вписать окружность. Больший и меньший радиусы этих окружностей равны соответственно 8 см и 2 см. Найдите радиус третьей окружности.

Дано:

Радиус наименьшей окружности: $r_{min} = 2 \text{ см}$

Радиус наибольшей окружности: $r_{max} = 8 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$r_{min} = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$r_{max} = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Радиус третьей окружности: $r_{средний}$

Решение:

Из условия задачи известно, что трапеция разделена на три трапеции отрезками, параллельными ее основаниям, и в каждую из этих трех трапеций можно вписать окружность. Существует известная геометрическая теорема, которая гласит, что если трапеция разделена на несколько меньших трапеций отрезками, параллельными ее основаниям, и в каждую из этих меньших трапеций можно вписать окружность, то радиусы вписанных окружностей образуют геометрическую прогрессию.

Пусть радиусы трех окружностей, расположенных последовательно, равны $R_1, R_2, R_3$. Тогда они образуют геометрическую прогрессию, что означает $R_2^2 = R_1 \cdot R_3$.

В условии задачи даны наибольший и наименьший радиусы из этих трех. Это означает, что данные радиусы являются крайними членами этой геометрической прогрессии. Пусть $R_1$ будет наименьшим радиусом, а $R_3$ — наибольшим.

Тогда $R_1 = r_{min} = 2 \text{ см}$ и $R_3 = r_{max} = 8 \text{ см}$.

Необходимо найти радиус третьей окружности, который в данном случае будет средним членом этой прогрессии, $R_2$.

Используем свойство геометрической прогрессии:

$R_2 = \sqrt{R_1 \cdot R_3}$

Подставим значения радиусов:

$R_2 = \sqrt{2 \text{ см} \cdot 8 \text{ см}}$

$R_2 = \sqrt{16 \text{ см}^2}$

$R_2 = 4 \text{ см}$

Таким образом, три радиуса равны $2 \text{ см}$, $4 \text{ см}$ и $8 \text{ см}$. Эта последовательность ($2, 4, 8$) является геометрической прогрессией со знаменателем 2. Наименьший радиус в ней равен 2 см, а наибольший — 8 см, что полностью соответствует условию задачи.

Ответ:

Радиус третьей окружности составляет $4 \text{ см}$.

334. a) Около окружности описан параллелограмм, периметр которого равен $P$, а тупой угол $\alpha$. Найдите радиус этой окружности.

б) Постройте трапецию с основаниями 2 см и 4,5 см, в которую можно вписать окружность и описать окружность около нее.

a) Найдите радиус этой окружности.

Дано:

Около окружности описан параллелограмм.

Периметр параллелограмма $P$.

Тупой угол параллелограмма $\alpha$.

Найти:

Радиус окружности $r$.

Решение:

Если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм является ромбом. Это следует из свойства, что для четырехугольника, описанного около окружности, суммы длин противоположных сторон равны. Для параллелограмма с соседними сторонами $a$ и $b$ это означает $a+a = b+b$, то есть $2a = 2b$, или $a=b$. Следовательно, все стороны равны, и фигура является ромбом.

Пусть сторона ромба равна $a$.

Периметр ромба $P = 4a$. Отсюда $a = \frac{P}{4}$.

Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.

Высоту ромба также можно выразить через его сторону и угол. Поскольку $\alpha$ - тупой угол, острый угол ромба равен $180^\circ - \alpha$. Высота, проведенная к стороне, равна произведению стороны на синус острого угла:

$h = a \sin(180^\circ - \alpha) = a \sin \alpha$.

Приравниваем два выражения для высоты:

$2r = a \sin \alpha$.

Подставляем выражение для стороны $a$:

$2r = \frac{P}{4} \sin \alpha$.

Выражаем радиус $r$:

$r = \frac{P \sin \alpha}{8}$.

Ответ: $r = \frac{P \sin \alpha}{8}$.

б) Постройте трапецию с основаниями 2 см и 4,5 см, в которую можно вписать окружность и описать окружность около нее.

Решение:

Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобедренной.

Если в трапецию можно вписать окружность, то суммы длин противоположных сторон равны. Для равнобедренной трапеции с основаниями $a$ и $b$ и боковыми сторонами $c$ это означает $a+b = c+c$, то есть $a+b = 2c$.

Даны основания $a = 2$ см и $b = 4.5$ см.

Найдем длину боковой стороны $c$:

$2c = 2 + 4.5$

$2c = 6.5$

$c = \frac{6.5}{2} = 3.25$ см.

Теперь найдем высоту $h$ этой равнобедренной трапеции. Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее. Длина отрезка большего основания, отсекаемого перпендикуляром от вершины меньшего основания, равна $\frac{b-a}{2}$.

$\frac{4.5 - 2}{2} = \frac{2.5}{2} = 1.25$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и этим отрезком. По теореме Пифагора:

$h^2 + (\frac{b-a}{2})^2 = c^2$

$h^2 + 1.25^2 = 3.25^2$

$h^2 = 3.25^2 - 1.25^2$

$h^2 = (3.25 - 1.25)(3.25 + 1.25)$

$h^2 = 2 \times 4.5$

$h^2 = 9$

$h = 3$ см.

Для построения трапеции выполним следующие шаги:

1. Проведем прямую и на ней отложим отрезок AD длиной 4.5 см (большее основание).

2. Из точки A отложим отрезок AE = 1.25 см на отрезке AD. Из точки D отложим отрезок DF = 1.25 см на отрезке DA.

3. Проведем перпендикуляры к отрезку AD через точки E и F.

4. На каждом перпендикуляре отложим отрезки EB и FC длиной 3 см (высота трапеции). Точки B и C будут вершинами меньшего основания.

5. Соединим точки B и C. Длина отрезка BC должна быть 2 см (меньшее основание), что соответствует длине отрезка EF ($4.5 - 1.25 - 1.25 = 2$ см).

6. Соединим точки A и B, а также D и C. Полученная трапеция ABCD является искомой.

Ответ: Построение описано в решении.