Страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

324. Около окружности описана равнобедренная трапеция, средняя линия которой равна 5 см, а синус ее острого угла равен 0,8.

Найдите площадь этой трапеции.

Дано:

Трапеция описана около окружности.

Трапеция равнобедренная.

Средняя линия $m = 5 \text{ см}$.

Синус острого угла $\sin(\alpha) = 0.8$.

Перевод в СИ:

$m = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$.

$\sin(\alpha) = 0.8$.

Найти:

Площадь $S$.

Решение:

Для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, выполняется свойство, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции равны $a$ и $b$, а боковые стороны — $c$. Поскольку трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны между собой, то есть $c_1 = c_2 = c$.

Следовательно, $a+b = c+c = 2c$.

Средняя линия трапеции $m$ определяется как полусумма оснований:

$m = \frac{a+b}{2}$

Подставим выражение для суммы оснований $a+b = 2c$ в формулу средней линии:

$m = \frac{2c}{2} = c$

Таким образом, для равнобедренной трапеции, описанной около окружности, средняя линия равна боковой стороне. По условию, средняя линия $m = 5 \text{ см}$, значит, боковая сторона $c = 5 \text{ см}$.

Высота $h$ трапеции может быть найдена через боковую сторону $c$ и синус острого угла $\alpha$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и частью большего основания. В этом треугольнике высота является катетом, противолежащим острому углу $\alpha$, а боковая сторона — гипотенузой.

$h = c \cdot \sin(\alpha)$

Подставим известные значения $c = 5 \text{ см}$ и $\sin(\alpha) = 0.8$:

$h = 5 \text{ см} \cdot 0.8 = 4 \text{ см}$

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле произведения средней линии на высоту:

$S = m \cdot h$

Подставим значения средней линии $m = 5 \text{ см}$ и высоты $h = 4 \text{ см}$:

$S = 5 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$

Ответ: $20 \text{ см}^2$.

325. Около окружности описана равнобедренная трапеция.

Докажите, что ее:

а) боковая сторона равна среднему арифметическому оснований: $c = \frac{a+b}{2}$

б) высота равна среднему геометрическому оснований: $h = \sqrt{ab}$

Дано:

Равнобедренная трапеция $ABCD$. Окружность вписана в трапецию. Основания: $AD = a$, $BC = b$. Боковые стороны: $AB = CD = c$. Высота трапеции: $h$.

Найти:

а) Доказать, что боковая сторона $c$ равна среднему арифметическому оснований: $c = \frac{a+b}{2}$. б) Доказать, что высота $h$ равна среднему геометрическому оснований: $h = \sqrt{ab}$.

Решение:

Основное свойство многоугольника, в который можно вписать окружность, заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Для трапеции $ABCD$ это означает: $AB + CD = AD + BC$

Так как трапеция равнобедренная, ее боковые стороны равны: $AB = CD = c$. Основания трапеции обозначим как $AD = a$ и $BC = b$.

Подставим эти обозначения в равенство сумм противоположных сторон: $c + c = a + b$ $2c = a + b$

a) боковая сторона равна среднему арифметическому оснований

Из полученного равенства $2c = a + b$ напрямую следует, что: $c = \frac{a+b}{2}$

Это доказывает, что боковая сторона равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна среднему арифметическому ее оснований.

Ответ: $c = \frac{a+b}{2}$.

б) высота равна среднему геометрическому оснований

Рассмотрим равнобедренную трапецию $ABCD$. Опустим высоты $BE$ и $CF$ из вершин $B$ и $C$ на большее основание $AD$. Тогда $BE = CF = h$, и $E$, $F$ лежат на $AD$.

Поскольку трапеция равнобедренная, отрезки $AE$ и $FD$ равны и могут быть найдены как: $AE = FD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{a-b}{2}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$. По теореме Пифагора: $AB^2 = AE^2 + BE^2$ $c^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2$

Из пункта а) мы знаем, что $c = \frac{a+b}{2}$. Подставим это выражение для $c$ в уравнение Пифагора: $\left(\frac{a+b}{2}\right)^2 = \left(\frac{a-b}{2}\right)^2 + h^2$

Теперь выразим $h^2$: $h^2 = \left(\frac{a+b}{2}\right)^2 - \left(\frac{a-b}{2}\right)^2$ $h^2 = \frac{(a+b)^2}{4} - \frac{(a-b)^2}{4}$ $h^2 = \frac{(a+b)^2 - (a-b)^2}{4}$

Применим алгебраическую формулу разности квадратов: $(X+Y)^2 - (X-Y)^2 = 4XY$. В нашем случае $X=a$ и $Y=b$, следовательно: $(a+b)^2 - (a-b)^2 = 4ab$

Подставим это обратно в выражение для $h^2$: $h^2 = \frac{4ab}{4}$ $h^2 = ab$

Так как высота $h$ должна быть положительной, берем квадратный корень: $h = \sqrt{ab}$

Это доказывает, что высота равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна среднему геометрическому ее оснований.

Ответ: $h = \sqrt{ab}$.

основания...

326. а) Найдите радиус окружности, вписанной в прямоугольную трапецию с основаниями 5 см и 7,5 см.

б) Найдите радиус окружности, вписанной в равнобедренную трапецию, большее основание которой равно 3 дм, а острый угол равен $60^\circ$.

a)

Дано:

Прямоугольная трапеция.

Основания: $a = 7.5$ см, $b = 5$ см.

Окружность вписана в трапецию.

Перевод в СИ:

$a = 7.5 \text{ см} = 0.075 \text{ м}$

$b = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности $r$.

Решение:

Для любой трапеции, в которую можно вписать окружность, выполняется свойство: сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции $a$ и $b$, а боковые стороны $c_1$ и $c_2$. Тогда $a+b = c_1+c_2$.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Пусть эта сторона $c_1 = h = 2r$.

Проведем высоту из вершины меньшего основания к большему основанию. Образуется прямоугольный треугольник, у которого один катет равен высоте трапеции $h$, другой катет равен разности длин оснований $a-b$, а гипотенуза - вторая боковая сторона $c_2$.

По теореме Пифагора: $c_2^2 = h^2 + (a-b)^2$.

Из условия вписанной окружности: $a+b = c_1+c_2$. Так как $c_1=h$, то $a+b = h+c_2$, откуда $c_2 = a+b-h$.

Подставим выражение для $c_2$ в уравнение Пифагора:

$(a+b-h)^2 = h^2 + (a-b)^2$

Раскроем скобки:

$(a+b)^2 - 2h(a+b) + h^2 = h^2 + (a-b)^2$

$(a+b)^2 - 2h(a+b) = (a-b)^2$

Перенесем $2h(a+b)$ в правую часть и $(a-b)^2$ в левую:

$(a+b)^2 - (a-b)^2 = 2h(a+b)$

Используем формулу разности квадратов $X^2 - Y^2 = (X-Y)(X+Y)$:

$((a+b)-(a-b))((a+b)+(a-b)) = 2h(a+b)$

$(a+b-a+b)(a+b+a-b) = 2h(a+b)$

$(2b)(2a) = 2h(a+b)$

$4ab = 2h(a+b)$

Выразим высоту $h$:

$h = \frac{4ab}{2(a+b)} = \frac{2ab}{a+b}$

Так как $h = 2r$, то:

$2r = \frac{2ab}{a+b}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $r$:

$r = \frac{ab}{a+b}$

Подставим значения $a = 7.5$ см и $b = 5$ см:

$r = \frac{7.5 \cdot 5}{7.5 + 5} = \frac{37.5}{12.5} = 3$

Радиус окружности равен 3 см.

Ответ: 3 см

б)

Дано:

Равнобедренная трапеция.

Большее основание $a = 3$ дм.

Острый угол $\alpha = 60^\circ$.

Окружность вписана в трапецию.

Перевод в СИ:

$a = 3 \text{ дм} = 0.3 \text{ м}$

$\alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Радиус окружности $r$.

Решение:

Для любой трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. Пусть основания трапеции $a$ и $b$, а боковые стороны $c$. Так как трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны $c$. Тогда $a+b = 2c$.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, т.е. $h = 2r$.

Опустим высоту $h$ из вершины меньшего основания на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник, у которого гипотенуза - боковая сторона $c$, противолежащий катет - высота $h$. Острый угол этого треугольника равен $\alpha$.

По определению синуса в прямоугольном треугольнике: $\sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{h}{c}$.

Отсюда $h = c \sin \alpha$.

Подставим $h=2r$:

$2r = c \sin \alpha$.

Из условия $a+b=2c$, выразим $c$: $c = \frac{a+b}{2}$.

Подставим это выражение для $c$ в предыдущее уравнение:

$2r = \frac{a+b}{2} \sin \alpha$

$4r = (a+b) \sin \alpha$. (1)

В том же прямоугольном треугольнике, прилежащий катет равен $\frac{a-b}{2}$. По определению косинуса: $\cos \alpha = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{(a-b)/2}{c}$.

Отсюда $\frac{a-b}{2} = c \cos \alpha$.

Из $2r = c \sin \alpha$ мы можем выразить $c = \frac{2r}{\sin \alpha}$. Подставим это в уравнение для $\frac{a-b}{2}$:

$\frac{a-b}{2} = \frac{2r}{\sin \alpha} \cos \alpha = 2r \cot \alpha$.

$a-b = 4r \cot \alpha$.

Выразим $b$: $b = a - 4r \cot \alpha$.

Теперь подставим это выражение для $b$ в уравнение (1):

$4r = (a + (a - 4r \cot \alpha)) \sin \alpha$

$4r = (2a - 4r \cot \alpha) \sin \alpha$

$4r = 2a \sin \alpha - 4r \cot \alpha \sin \alpha$

Так как $\cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha}$, то $\cot \alpha \sin \alpha = \cos \alpha$:

$4r = 2a \sin \alpha - 4r \cos \alpha$

Перенесем члены с $r$ в левую часть:

$4r + 4r \cos \alpha = 2a \sin \alpha$

Вынесем $4r$ за скобки:

$4r(1+\cos \alpha) = 2a \sin \alpha$

Выразим $r$:

$r = \frac{2a \sin \alpha}{4(1+\cos \alpha)} = \frac{a \sin \alpha}{2(1+\cos \alpha)}$

Используем формулы половинного угла: $\sin \alpha = 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})$ и $1+\cos \alpha = 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})$.

$r = \frac{a \cdot 2 \sin(\frac{\alpha}{2})\cos(\frac{\alpha}{2})}{2 \cdot 2\cos^2(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a \sin(\frac{\alpha}{2})}{2 \cos(\frac{\alpha}{2})} = \frac{a}{2} \tan(\frac{\alpha}{2})$.

Подставим заданные значения: $a = 3$ дм, $\alpha = 60^\circ$.

$\frac{\alpha}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$.

Значение $\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

$r = \frac{3}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Радиус окружности равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$ дм.

Ответ: $\frac{\sqrt{3}}{2}$ дм

327. а) Докажите, что если в четырехугольник вписана окружность, то его площадь равна произведению полупериметра на радиус этой окружности.

б) Найдите радиус вписанной в четырехугольник окружности, если сумма двух его противоположных сторон 12 см, а площадь этого четырехугольника равна $60 \text{ см}^2$.

a) Докажите, что если в четырехугольник вписана окружность, то его площадь равна произведению полупериметра на радиус этой окружности.

Доказательство:

Пусть дан четырехугольник $ABCD$, в который вписана окружность с центром $O$ и радиусом $r$.

Точки касания окружности со сторонами четырехугольника являются основаниями высот, проведенных из центра $O$ к этим сторонам. Длина каждой такой высоты равна радиусу $r$, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной.

Соединим центр $O$ со всеми вершинами четырехугольника $A, B, C, D$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ разбивается на четыре треугольника: $\triangle AOB$, $\triangle BOC$, $\triangle COD$, $\triangle DOA$.

Площадь каждого из этих треугольников может быть найдена как половина произведения его основания на высоту, опущенную на это основание (которая равна радиусу $r$).

Площадь $\triangle AOB = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r$

Площадь $\triangle BOC = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r$

Площадь $\triangle COD = \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r$

Площадь $\triangle DOA = \frac{1}{2} \cdot DA \cdot r$

Общая площадь четырехугольника $S$ равна сумме площадей этих четырех треугольников:

$S = \text{Площадь } \triangle AOB + \text{Площадь } \triangle BOC + \text{Площадь } \triangle COD + \text{Площадь } \triangle DOA$

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot r + \frac{1}{2} \cdot BC \cdot r + \frac{1}{2} \cdot CD \cdot r + \frac{1}{2} \cdot DA \cdot r$

Вынесем общий множитель $\frac{1}{2}r$ за скобки:

$S = \frac{1}{2}r \cdot (AB + BC + CD + DA)$

Сумма длин всех сторон четырехугольника $(AB + BC + CD + DA)$ представляет собой периметр четырехугольника $P$.

$S = \frac{1}{2}r \cdot P$

Полупериметр четырехугольника $p$ определяется как $p = \frac{P}{2}$.

Следовательно, $S = p \cdot r$.

Таким образом, площадь четырехугольника, в который вписана окружность, равна произведению его полупериметра на радиус этой окружности.

Ответ: Доказано.

б) Найдите радиус вписанной в четырехугольник окружности, если сумма двух его противоположных сторон 12 см, а площадь этого четырехугольника равна 60 см².

Дано:

Четырехугольник, в который вписана окружность.

Сумма двух противоположных сторон: $a + c = 12 \text{ см}$

Площадь четырехугольника: $S = 60 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

Сумма двух противоположных сторон: $a + c = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Площадь четырехугольника: $S = 60 \text{ см}^2 = 60 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 60 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.006 \text{ м}^2$

Найти:

Радиус вписанной окружности: $r$

Решение:

По условию, в четырехугольник вписана окружность. Это означает, что данный четырехугольник является описанным. Для любого описанного четырехугольника справедливо свойство: суммы длин противоположных сторон равны.

Пусть стороны четырехугольника $a, b, c, d$. Тогда, если $a$ и $c$ — противоположные стороны, а $b$ и $d$ — другие противоположные стороны, то для описанного четырехугольника выполняется равенство $a + c = b + d$.

В условии задачи дана сумма двух противоположных сторон, пусть это будет $a+c$. Тогда $a+c = 12 \text{ см}$.

Из свойства описанного четырехугольника следует, что и сумма других двух противоположных сторон $b+d$ также равна $12 \text{ см}$.

Периметр четырехугольника $P$ равен сумме длин всех его сторон:

$P = a + b + c + d$

Мы можем перегруппировать члены: $P = (a + c) + (b + d)$

Подставляем известные значения:

$P = 12 \text{ см} + 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Полупериметр четырехугольника $p$ равен половине периметра:

$p = \frac{P}{2} = \frac{24 \text{ см}}{2} = 12 \text{ см}$

Из пункта а) мы знаем, что площадь четырехугольника $S$, в который вписана окружность, равна произведению его полупериметра $p$ на радиус вписанной окружности $r$:

$S = p \cdot r$

Нам известны площадь $S = 60 \text{ см}^2$ и полупериметр $p = 12 \text{ см}$. Можем найти радиус $r$:

$r = \frac{S}{p}$

$r = \frac{60 \text{ см}^2}{12 \text{ см}}$

$r = 5 \text{ см}$

Для ответа в системе СИ:

$r = \frac{0.006 \text{ м}^2}{0.12 \text{ м}} = 0.05 \text{ м}$

Ответ: $5 \text{ см}$ (или $0.05 \text{ м}$).

этого четырехугольника равна 80 см ?

328. В четырехугольник $ABCD$ вписана окружность радиусом 1,7 см. Известно, что $AB : CD = 2 : 3$, $AD : BC = 2 : 1$. Найдите стороны четырехугольника, если его площадь равна $12,75 \text{ см}^2$.

Дано:

Радиус вписанной окружности $r = 1.7$ см.

Площадь четырехугольника $S = 12.75$ см$^2$.

Соотношения сторон: $AB : CD = 2 : 3$ и $AD : BC = 2 : 1$.

Перевод в СИ:

$r = 1.7 \, \text{см} = 1.7 \cdot 10^{-2} \, \text{м} = 0.017 \, \text{м}$.

$S = 12.75 \, \text{см}^2 = 12.75 \cdot 10^{-4} \, \text{м}^2 = 0.001275 \, \text{м}^2$.

Найти:

$AB, BC, CD, AD$.

Решение:

Для четырехугольника $ABCD$, в который вписана окружность, его площадь $S$ можно найти по формуле $S = p \cdot r$, где $p$ - полупериметр четырехугольника, а $r$ - радиус вписанной окружности.

Выразим полупериметр $p$ из этой формулы:

$p = \frac{S}{r}$

Подставим известные значения:

$p = \frac{12.75 \, \text{см}^2}{1.7 \, \text{см}} = 7.5 \, \text{см}$.

Для любого четырехугольника, в который можно вписать окружность (касательного четырехугольника), выполняется свойство: суммы длин противоположных сторон равны. То есть $AB + CD = BC + AD$.

Также полупериметр $p$ определяется как половина суммы всех сторон: $p = \frac{AB + BC + CD + AD}{2}$.

Из свойства $AB + CD = BC + AD$ и определения полупериметра следует, что $AB + CD = p$ и $BC + AD = p$.

Таким образом, $AB + CD = 7.5 \, \text{см}$ и $BC + AD = 7.5 \, \text{см}$.

Используем данные соотношения сторон:

Из соотношения $AB : CD = 2 : 3$ можно записать $AB = 2k$ и $CD = 3k$ для некоторого коэффициента $k$.

Из соотношения $AD : BC = 2 : 1$ можно записать $AD = 2m$ и $BC = m$ для некоторого коэффициента $m$.

Подставим эти выражения в уравнения, полученные из свойства полупериметра:

Для сторон $AB$ и $CD$:

$AB + CD = p$

$2k + 3k = 7.5$

$5k = 7.5$

$k = \frac{7.5}{5} = 1.5$

Теперь найдем длины сторон $AB$ и $CD$:

$AB = 2k = 2 \cdot 1.5 \, \text{см} = 3 \, \text{см}$.

$CD = 3k = 3 \cdot 1.5 \, \text{см} = 4.5 \, \text{см}$.

Для сторон $AD$ и $BC$:

$AD + BC = p$

$2m + m = 7.5$

$3m = 7.5$

$m = \frac{7.5}{3} = 2.5$

Теперь найдем длины сторон $AD$ и $BC$:

$BC = m = 2.5 \, \text{см}$.

$AD = 2m = 2 \cdot 2.5 \, \text{см} = 5 \, \text{см}$.

Проверим суммы противоположных сторон:

$AB + CD = 3 \, \text{см} + 4.5 \, \text{см} = 7.5 \, \text{см}$.

$BC + AD = 2.5 \, \text{см} + 5 \, \text{см} = 7.5 \, \text{см}$.

Суммы равны, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ:

Стороны четырехугольника равны $AB = 3$ см, $BC = 2.5$ см, $CD = 4.5$ см, $AD = 5$ см.

роны четырехугольника, если его площадь равна 72 см².

329. Постройте с помощью циркуля и линейки ромб по данному радиусу вписанной в него окружности и стороне.

Дано:

Радиус вписанной окружности ромба $r$.

Длина стороны ромба $a$.

Найти:

Построить ромб с помощью циркуля и линейки.

Решение

Для построения ромба по данным радиусу вписанной окружности и стороне, используем следующие свойства ромба:

• Все четыре стороны ромба равны между собой.

• Высота ромба $h$ равна диаметру вписанной окружности, то есть $h = 2r$.

Шаги построения:

1. Начертите произвольную прямую $l$. Отметьте на ней точку $A$.

2. С помощью циркуля отложите от точки $A$ на прямой $l$ отрезок $AB$, равный заданной стороне $a$. Точка $B$ будет второй вершиной ромба.

3. Проведите перпендикуляр к прямой $l$ через точку $A$.

4. На этом перпендикуляре от точки $A$ отложите отрезок $AH$, равный $2r$. Для этого сначала отложите отрезок длиной $r$ на вспомогательной линии, затем удвойте его, или просто дважды отложите $r$ от $A$ на перпендикуляре. Точка $H$ будет лежать на перпендикуляре.

5. Через точку $H$ проведите прямую $m$, перпендикулярную отрезку $AH$. Прямая $m$ будет параллельна прямой $l$ и находиться от нее на расстоянии, равном высоте ромба $h = 2r$. Две другие вершины ромба будут лежать на этой прямой $m$.

6. Установите ножку циркуля в точку $B$ и раскройте циркуль на расстояние $a$. Проведите дугу, которая пересечет прямую $m$. Точка пересечения будет третьей вершиной ромба, обозначим ее $C$. Обратите внимание, что построение возможно только в случае, если длина стороны $a$ не меньше высоты $2r$ ($a \ge 2r$).

7. Теперь необходимо найти четвертую вершину $D$. Для этого установите ножку циркуля в точку $A$ и раскройте циркуль на расстояние $a$. Проведите дугу. Затем установите ножку циркуля в точку $C$ и, сохраняя радиус $a$, проведите еще одну дугу. Точка пересечения двух последних дуг будет четвертой вершиной ромба $D$.

8. Соедините последовательно точки $A$, $B$, $C$ и $D$ отрезками. Полученная фигура $ABCD$ является искомым ромбом.

Ответ:

Ромб построен.

330.

a) Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен $P$, а острый угол равен $\alpha$. Найдите площадь трапеции.

б) Около окружности радиуса 2 см описана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 3 см. Найдите площадь этой трапеции.

а)

Дано:

Трапеция равнобедренная, описана около окружности.

Периметр трапеции $P$.

Острый угол трапеции $\alpha$.

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, $c$ - длина боковой стороны.

По свойству описанной трапеции (или любого описанного четырехугольника), суммы противоположных сторон равны.

Следовательно, $a + b = c + c = 2c$, так как трапеция равнобедренная.

Периметр трапеции $P$ равен $P = a + b + 2c$.

Подставляем $a + b = 2c$ в формулу периметра: $P = 2c + 2c = 4c$.

Из этого следует, что длина боковой стороны $c = \frac{P}{4}$.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, $h = 2r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой трапеции и отрезком нижнего основания.

В этом треугольнике синус острого угла $\alpha$ равен отношению высоты к боковой стороне: $\sin \alpha = \frac{h}{c}$.

Отсюда, высота трапеции $h = c \sin \alpha$.

Подставляем значение $c = \frac{P}{4}$: $h = \frac{P}{4} \sin \alpha$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} h$.

Так как $a + b = 2c$, подставляем это в формулу площади:

$S = \frac{2c}{2} h = c h$.

Теперь подставляем выражения для $c$ и $h$:

$S = \left(\frac{P}{4}\right) \left(\frac{P}{4} \sin \alpha\right) = \frac{P^2}{16} \sin \alpha$.

Ответ: $S = \frac{P^2}{16} \sin \alpha$

б)

Дано:

Трапеция прямоугольная, описана около окружности.

Радиус окружности $r = 2 \text{ см}$.

Меньшее основание $b = 3 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$b = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Для трапеции, описанной около окружности, высота $h$ равна диаметру этой окружности.

$h = 2r = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Пусть эта сторона равна $h$.

Пусть $a$ - длина большего основания, $b$ - длина меньшего основания ($b = 3 \text{ см}$), $h$ - длина перпендикулярной боковой стороны ($h = 4 \text{ см}$), $c$ - длина наклонной боковой стороны.

По свойству описанного четырехугольника, сумма противоположных сторон равны: $a + b = h + c$.

Подставляем известные значения: $a + 3 = 4 + c$.

Отсюда выразим $c$: $c = a - 1$.

Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Эта высота равна $h = 4 \text{ см}$.

Отрезок большего основания, лежащий между высотой и наклонной боковой стороной, равен $a - b = a - 3$.

Наклонная боковая сторона $c$, высота $h$ и отрезок $a - b$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$c^2 = h^2 + (a - b)^2$

Подставляем известные значения:

$(a - 1)^2 = 4^2 + (a - 3)^2$

$a^2 - 2a + 1 = 16 + a^2 - 6a + 9$

$a^2 - 2a + 1 = a^2 - 6a + 25$

Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:

$-2a + 1 = -6a + 25$

Перенесем слагаемые с $a$ в одну сторону, константы в другую:

$6a - 2a = 25 - 1$

$4a = 24$

$a = 6 \text{ см}$.

Теперь у нас есть длины обоих оснований: $a = 6 \text{ см}$ и $b = 3 \text{ см}$.

Высота трапеции $h = 4 \text{ см}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a + b}{2} h$

$S = \frac{6 + 3}{2} \cdot 4$

$S = \frac{9}{2} \cdot 4$

$S = 9 \cdot 2$

$S = 18 \text{ см}^2$.

Ответ: $S = 18 \text{ см}^2$