Номер 330, страница 144 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

330.

a) Около окружности описана равнобедренная трапеция, периметр которой равен $P$, а острый угол равен $\alpha$. Найдите площадь трапеции.

б) Около окружности радиуса 2 см описана прямоугольная трапеция, меньшее основание которой равно 3 см. Найдите площадь этой трапеции.

а)

Дано:

Трапеция равнобедренная, описана около окружности.

Периметр трапеции $P$.

Острый угол трапеции $\alpha$.

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, $c$ - длина боковой стороны.

По свойству описанной трапеции (или любого описанного четырехугольника), суммы противоположных сторон равны.

Следовательно, $a + b = c + c = 2c$, так как трапеция равнобедренная.

Периметр трапеции $P$ равен $P = a + b + 2c$.

Подставляем $a + b = 2c$ в формулу периметра: $P = 2c + 2c = 4c$.

Из этого следует, что длина боковой стороны $c = \frac{P}{4}$.

Высота трапеции $h$ равна диаметру вписанной окружности, $h = 2r$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой трапеции и отрезком нижнего основания.

В этом треугольнике синус острого угла $\alpha$ равен отношению высоты к боковой стороне: $\sin \alpha = \frac{h}{c}$.

Отсюда, высота трапеции $h = c \sin \alpha$.

Подставляем значение $c = \frac{P}{4}$: $h = \frac{P}{4} \sin \alpha$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле $S = \frac{a+b}{2} h$.

Так как $a + b = 2c$, подставляем это в формулу площади:

$S = \frac{2c}{2} h = c h$.

Теперь подставляем выражения для $c$ и $h$:

$S = \left(\frac{P}{4}\right) \left(\frac{P}{4} \sin \alpha\right) = \frac{P^2}{16} \sin \alpha$.

Ответ: $S = \frac{P^2}{16} \sin \alpha$

б)

Дано:

Трапеция прямоугольная, описана около окружности.

Радиус окружности $r = 2 \text{ см}$.

Меньшее основание $b = 3 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$r = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

$b = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$.

Решение:

Для трапеции, описанной около окружности, высота $h$ равна диаметру этой окружности.

$h = 2r = 2 \cdot 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

В прямоугольной трапеции одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям и является высотой трапеции. Пусть эта сторона равна $h$.

Пусть $a$ - длина большего основания, $b$ - длина меньшего основания ($b = 3 \text{ см}$), $h$ - длина перпендикулярной боковой стороны ($h = 4 \text{ см}$), $c$ - длина наклонной боковой стороны.

По свойству описанного четырехугольника, сумма противоположных сторон равны: $a + b = h + c$.

Подставляем известные значения: $a + 3 = 4 + c$.

Отсюда выразим $c$: $c = a - 1$.

Опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Эта высота равна $h = 4 \text{ см}$.

Отрезок большего основания, лежащий между высотой и наклонной боковой стороной, равен $a - b = a - 3$.

Наклонная боковая сторона $c$, высота $h$ и отрезок $a - b$ образуют прямоугольный треугольник. По теореме Пифагора:

$c^2 = h^2 + (a - b)^2$

Подставляем известные значения:

$(a - 1)^2 = 4^2 + (a - 3)^2$

$a^2 - 2a + 1 = 16 + a^2 - 6a + 9$

$a^2 - 2a + 1 = a^2 - 6a + 25$

Вычтем $a^2$ из обеих частей уравнения:

$-2a + 1 = -6a + 25$

Перенесем слагаемые с $a$ в одну сторону, константы в другую:

$6a - 2a = 25 - 1$

$4a = 24$

$a = 6 \text{ см}$.

Теперь у нас есть длины обоих оснований: $a = 6 \text{ см}$ и $b = 3 \text{ см}$.

Высота трапеции $h = 4 \text{ см}$.

Площадь трапеции $S$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{a + b}{2} h$

$S = \frac{6 + 3}{2} \cdot 4$

$S = \frac{9}{2} \cdot 4$

$S = 9 \cdot 2$

$S = 18 \text{ см}^2$.

Ответ: $S = 18 \text{ см}^2$