Номер 335, страница 152 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

335. a) Является ли вписанный в окружность равносторонний многоугольник правильным? Ответ обоснуйте.

б) Является ли описанный около окружности равносторонний многоугольник правильным? Ответ обоснуйте.

в) Постройте циркулем и линейкой правильный треугольник, сторона которого равна ($ \sqrt{3} + 1 $) см.

a) Является ли вписанный в окружность равносторонний многоугольник правильным? Ответ обоснуйте.

Да, является. Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и равны все углы. Если равносторонний многоугольник вписан в окружность, то его стороны являются хордами этой окружности. Поскольку все стороны многоугольника равны, то равны и соответствующие им хорды. Равные хорды в окружности стягивают равные дуги. Пусть $n$ - количество сторон многоугольника. Тогда каждая дуга, стягиваемая стороной, имеет одинаковую меру. Угол, вписанный в окружность, равен половине угловой величины дуги, на которую он опирается. Каждый внутренний угол вписанного многоугольника опирается на сумму $(n-2)$ таких равных дуг, составляющих оставшуюся часть окружности. Поскольку все эти дуги равны, то и все углы многоугольника будут равны. Таким образом, вписанный равносторонний многоугольник является и равноугольным, а значит, он является правильным.

Ответ: Да.

б) Является ли описанный около окружности равносторонний многоугольник правильным? Ответ обоснуйте.

Нет, не является. Многоугольник называется правильным, если у него равны все стороны и равны все углы. Описанный около окружности равносторонний многоугольник имеет все стороны равными. Однако это не гарантирует равенства всех его углов. Примером такого многоугольника является ромб. Ромб — это равносторонний четырехугольник, который всегда можно описать около окружности. Но ромб является правильным многоугольником (квадратом) только в том случае, если все его углы прямые. Если ромб не является квадратом, то его углы не равны (например, противоположные углы равны, но смежные углы не равны), и, следовательно, он не является правильным многоугольником, несмотря на то, что он равносторонний и описан около окружности.

Ответ: Нет.

в) Постройте циркулем и линейкой правильный треугольник, сторона которого равна $(\sqrt{3} + 1)$ см.

Дано

Требуется построить правильный треугольник со стороной $a = (\sqrt{3} + 1)$ см.

Найти:

Построение правильного треугольника.

Решение

Для построения правильного треугольника необходимо сначала построить отрезок длиной $a = (\sqrt{3} + 1)$ см.

1. Построение отрезка длиной $\sqrt{3}$ см:

a) Проведем произвольную прямую и отметим на ней точку $O$.

b) От точки $O$ отложим отрезок $OA = 1$ см (единичный отрезок).

c) Восстановим перпендикуляр к отрезку $OA$ в точке $A$.

d) На этом перпендикуляре отложим отрезок $AB = 1$ см.

e) Соединим точки $O$ и $B$. По теореме Пифагора, длина отрезка $OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см.

f) Восстановим перпендикуляр к отрезку $OB$ в точке $B$.

g) На этом перпендикуляре отложим отрезок $BC = 1$ см.

h) Соединим точки $O$ и $C$. По теореме Пифагора, длина отрезка $OC = \sqrt{OB^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}$ см.

2. Построение отрезка длиной $(\sqrt{3} + 1)$ см:

a) Продолжим отрезок $OC$ за точку $C$.

b) От точки $C$ на продолжении отложим отрезок $CD = 1$ см (используя тот же единичный отрезок, что и ранее).

c) Отрезок $OD$ будет иметь длину $OC + CD = \sqrt{3} + 1$ см. Это и есть сторона $a$ нашего правильного треугольника.

3. Построение правильного треугольника со стороной $a$:

a) Проведем произвольную прямую и с помощью циркуля отложим на ней отрезок $PQ$, равный $OD$ (то есть $a = \sqrt{3} + 1$ см).

b) С центром в точке $P$ и радиусом $PQ$ (равным $a$) проведем дугу.

c) С центром в точке $Q$ и радиусом $PQ$ (равным $a$) проведем вторую дугу.

d) Точка пересечения этих дуг, назовем ее $R$, является третьей вершиной правильного треугольника.

e) Соединим точки $P$, $Q$ и $R$ отрезками. Треугольник $PQR$ является искомым правильным треугольником со стороной $a = (\sqrt{3} + 1)$ см.

Ответ: Построение выполнено согласно описанным шагам.