Номер 342, страница 153 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

342. Площадь правильного треугольника равна $4\sqrt{3} \text{ см}^2$. Вычислите радиус окружности:
a) описанной около треугольника;
б) вписанной в данный треугольник.

Дано:

Правильный треугольник

Площадь $S = 4\sqrt{3}$ см$^2$

Перевод в СИ:

$S = 4\sqrt{3}$ см$^2 = 4\sqrt{3} \times (10^{-2} \text{ м})^2 = 4\sqrt{3} \times 10^{-4}$ м$^2$.

Найти:

а) Радиус описанной окружности $R$.

б) Радиус вписанной окружности $r$.

Решение:

Для начала найдем сторону $a$ правильного (равностороннего) треугольника. Формула для площади правильного треугольника: $S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Подставим известное значение площади $S = 4\sqrt{3}$ см$^2$:

$4\sqrt{3} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Умножим обе части уравнения на $4$:

$16\sqrt{3} = a^2 \sqrt{3}$

Разделим обе части на $\sqrt{3}$:

$16 = a^2$

Извлечем квадратный корень:

$a = \sqrt{16}$

$a = 4$ см.

а) описанной около треугольника;

Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ связан со стороной $a$ формулой:

$R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение стороны $a = 4$ см:

$R = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{4 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $R = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

б) вписанной в данный треугольник.

Для правильного треугольника радиус вписанной окружности $r$ связан со стороной $a$ формулой:

$r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим найденное значение стороны $a = 4$ см:

$r = \frac{4}{2\sqrt{3}}$

$r = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см.

Для того чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$r = \frac{2 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Также можно воспользоваться свойством правильного треугольника, что радиус описанной окружности в два раза больше радиуса вписанной окружности: $R = 2r$.

Тогда $r = \frac{R}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Ответ: $r = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.