Номер 344, страница 157 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

344. а) Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 7 см. Найдите периметр правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

б) В окружность вписаны квадрат и правильный шестиугольник. Периметр квадрата равен 42 мм. Найдите периметр шестиугольника.

a)

Дано:

сторона правильного шестиугольника $a_6 = 7$ см.

шестиугольник и правильный треугольник вписаны в одну окружность.

Перевод в СИ:

$a_6 = 7 \text{ см} = 0.07 \text{ м}$.

Найти:

периметр правильного треугольника $P_3$.

Решение:

для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, сторона шестиугольника равна радиусу описанной окружности.

тогда радиус окружности $R = a_6 = 7$ см.

для правильного треугольника, вписанного в окружность, длина его стороны $a_3$ выражается формулой через радиус $R$:

$a_3 = R\sqrt{3}$

подставим значение $R$:

$a_3 = 7\sqrt{3}$ см.

периметр правильного треугольника равен утроенной длине его стороны:

$P_3 = 3 \cdot a_3$

$P_3 = 3 \cdot (7\sqrt{3}) = 21\sqrt{3}$ см.

Ответ: $21\sqrt{3}$ см.

б)

Дано:

квадрат и правильный шестиугольник вписаны в одну окружность;

периметр квадрата $P_4 = 42$ мм.

Перевод в СИ:

$P_4 = 42 \text{ мм} = 0.042 \text{ м}$.

Найти:

периметр правильного шестиугольника $P_6$.

Решение:

найдем сторону квадрата $a_4$ из его периметра:

$a_4 = P_4 / 4$

$a_4 = 42 / 4 = 10.5$ мм.

для квадрата, вписанного в окружность, его диагональ равна диаметру окружности $2R$.

диагональ квадрата $d = a_4\sqrt{2}$.

значит, $2R = a_4\sqrt{2}$

отсюда радиус окружности:

$R = a_4\sqrt{2} / 2$

$R = 10.5\sqrt{2} / 2 = 5.25\sqrt{2}$ мм.

для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона $a_6$ равна радиусу описанной окружности.

$a_6 = R = 5.25\sqrt{2}$ мм.

периметр правильного шестиугольника равен шести длинам его стороны:

$P_6 = 6 \cdot a_6$

$P_6 = 6 \cdot (5.25\sqrt{2}) = 31.5\sqrt{2}$ мм.

Ответ: $31.5\sqrt{2}$ мм.