Номер 346, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

346. Найдите наименьшую диагональ правильного восьмиугольника, если его наибольшая диагональ равна 6 см.

Дано:

Правильный восьмиугольник.

Наибольшая диагональ $D_{max} = 6 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$D_{max} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Наименьшая диагональ $D_{min}$.

Решение:

Правильный восьмиугольник — это многоугольник с восемью равными сторонами и восемью равными углами. Все его вершины лежат на одной окружности, которая называется описанной окружностью.

Наибольшая диагональ правильного многоугольника всегда проходит через его центр и является диаметром описанной окружности. Обозначим радиус описанной окружности как $R$.

Следовательно, $D_{max} = 2R$.

Из условия задачи нам дано, что наибольшая диагональ равна $6 \text{ см}$:

$2R = 6 \text{ см}$

$R = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$.

Наименьшая диагональ правильного восьмиугольника соединяет две вершины, между которыми находится одна вершина (например, $V_1$ и $V_3$). Рассмотрим треугольник, образованный центром восьмиугольника $O$ и двумя вершинами, соединенными наименьшей диагональю, например $V_1$ и $V_3$. Стороны $OV_1$ и $OV_3$ являются радиусами описанной окружности, то есть $OV_1 = OV_3 = R$.

Угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам правильного $n$-угольника, равен $\frac{360^\circ}{n}$. Для восьмиугольника $n=8$, поэтому центральный угол, соответствующий одной стороне, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Диагональ $V_1V_3$ "перескакивает" одну вершину $V_2$. Следовательно, она охватывает две стороны восьмиугольника. Угол, образованный радиусами $OV_1$ и $OV_3$, будет равен удвоенному центральному углу:

$\angle V_1OV_3 = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $V_1OV_3$ является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами, равными $R$, и гипотенузой, равной наименьшей диагонали $D_{min}$.

По теореме Пифагора для треугольника $V_1OV_3$:

$D_{min}^2 = OV_1^2 + OV_3^2$

$D_{min}^2 = R^2 + R^2$

$D_{min}^2 = 2R^2$

$D_{min} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Подставляем найденное значение радиуса $R = 3 \text{ см}$:

$D_{min} = 3\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.