Номер 347, страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

347. Найдите площадь правильного:
а) треугольника со стороной 5 см;
б) шестиугольника со стороной 2 см.

а) треугольника со стороной 5 см

Дано:

Сторона правильного треугольника $a = 5 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Площадь правильного треугольника $S_{\text{тр}}$

Решение

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{тр}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 5 \text{ см}$ в формулу:

$S_{\text{тр}} = \frac{(5 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$

Вычислим приблизительное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S_{\text{тр}} \approx \frac{25 \times 1.73205}{4} = \frac{43.30125}{4} \approx 10.83 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь правильного треугольника равна $\frac{25 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$ или приблизительно $10.83 \text{ см}^2$.

б) шестиугольника со стороной 2 см

Дано:

Сторона правильного шестиугольника $a = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь правильного шестиугольника $S_{\text{шест}}$

Решение

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть правильных (равносторонних) треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника. Площадь одного такого треугольника равна $S_{\text{тр}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь правильного шестиугольника будет в 6 раз больше:

$S_{\text{шест}} = 6 \times S_{\text{тр}} = 6 \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 2 \text{ см}$ в формулу:

$S_{\text{шест}} = \frac{3 \times (2 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \times 4 \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}^2$

Вычислим приблизительное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S_{\text{шест}} \approx 6 \times 1.73205 = 10.3923 \text{ см}^2 \approx 10.39 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь правильного шестиугольника равна $6 \sqrt{3} \text{ см}^2$ или приблизительно $10.39 \text{ см}^2$.