Страница 158 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

345. a) Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна 8 см. Найдите периметр квадрата, вписанного в эту окружность.

б) Периметр квадрата, вписанного в окружность, равен 18 см. Найдите сторону правильного треугольника, вписанного в эту окружность.

а)

Дано:

сторона правильного треугольника $a_3 = 8$ см

Перевод в СИ:

$a_3 = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

периметр квадрата $P_4$

Решение:

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны правильный треугольник и квадрат.

Для правильного треугольника, вписанного в окружность, связь между его стороной $a_3$ и радиусом $R$ выражается формулой:

$a_3 = R\sqrt{3}$

Из этой формулы найдем радиус окружности:

$R = \frac{a_3}{\sqrt{3}}$

Подставляем значение $a_3 = 8$ см:

$R = \frac{8}{\sqrt{3}}$ см

Для квадрата, вписанного в окружность, связь между его стороной $a_4$ и радиусом $R$ выражается формулой:

$a_4 = R\sqrt{2}$

Подставляем найденное значение $R$:

$a_4 = \frac{8}{\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$a_4 = \frac{8\sqrt{2} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{6}}{3}$ см

Периметр квадрата $P_4$ вычисляется по формуле:

$P_4 = 4a_4$

Подставляем значение $a_4$:

$P_4 = 4 \cdot \frac{8\sqrt{6}}{3} = \frac{32\sqrt{6}}{3}$ см

Ответ: $\frac{32\sqrt{6}}{3}$ см

б)

Дано:

периметр квадрата $P_4 = 18$ см

Перевод в СИ:

$P_4 = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$

Найти:

сторона правильного треугольника $a_3$

Решение:

Пусть $R$ — радиус окружности, в которую вписаны квадрат и правильный треугольник.

Периметр квадрата $P_4$ выражается через его сторону $a_4$ по формуле:

$P_4 = 4a_4$

Из этой формулы найдем сторону квадрата:

$a_4 = \frac{P_4}{4}$

Подставляем значение $P_4 = 18$ см:

$a_4 = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$ см

Для квадрата, вписанного в окружность, связь между его стороной $a_4$ и радиусом $R$ выражается формулой:

$a_4 = R\sqrt{2}$

Из этой формулы найдем радиус окружности:

$R = \frac{a_4}{\sqrt{2}}$

Подставляем найденное значение $a_4$:

$R = \frac{9/2}{\sqrt{2}} = \frac{9}{2\sqrt{2}}$

Умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$, чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе:

$R = \frac{9\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{9\sqrt{2}}{4}$ см

Для правильного треугольника, вписанного в окружность, связь между его стороной $a_3$ и радиусом $R$ выражается формулой:

$a_3 = R\sqrt{3}$

Подставляем найденное значение $R$:

$a_3 = \frac{9\sqrt{2}}{4} \cdot \sqrt{3} = \frac{9\sqrt{6}}{4}$ см

Ответ: $\frac{9\sqrt{6}}{4}$ см

346. Найдите наименьшую диагональ правильного восьмиугольника, если его наибольшая диагональ равна 6 см.

Дано:

Правильный восьмиугольник.

Наибольшая диагональ $D_{max} = 6 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$D_{max} = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$.

Найти:

Наименьшая диагональ $D_{min}$.

Решение:

Правильный восьмиугольник — это многоугольник с восемью равными сторонами и восемью равными углами. Все его вершины лежат на одной окружности, которая называется описанной окружностью.

Наибольшая диагональ правильного многоугольника всегда проходит через его центр и является диаметром описанной окружности. Обозначим радиус описанной окружности как $R$.

Следовательно, $D_{max} = 2R$.

Из условия задачи нам дано, что наибольшая диагональ равна $6 \text{ см}$:

$2R = 6 \text{ см}$

$R = \frac{6 \text{ см}}{2} = 3 \text{ см}$.

Наименьшая диагональ правильного восьмиугольника соединяет две вершины, между которыми находится одна вершина (например, $V_1$ и $V_3$). Рассмотрим треугольник, образованный центром восьмиугольника $O$ и двумя вершинами, соединенными наименьшей диагональю, например $V_1$ и $V_3$. Стороны $OV_1$ и $OV_3$ являются радиусами описанной окружности, то есть $OV_1 = OV_3 = R$.

Угол между радиусами, проведенными к соседним вершинам правильного $n$-угольника, равен $\frac{360^\circ}{n}$. Для восьмиугольника $n=8$, поэтому центральный угол, соответствующий одной стороне, равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$.

Диагональ $V_1V_3$ "перескакивает" одну вершину $V_2$. Следовательно, она охватывает две стороны восьмиугольника. Угол, образованный радиусами $OV_1$ и $OV_3$, будет равен удвоенному центральному углу:

$\angle V_1OV_3 = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$.

Таким образом, треугольник $V_1OV_3$ является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами, равными $R$, и гипотенузой, равной наименьшей диагонали $D_{min}$.

По теореме Пифагора для треугольника $V_1OV_3$:

$D_{min}^2 = OV_1^2 + OV_3^2$

$D_{min}^2 = R^2 + R^2$

$D_{min}^2 = 2R^2$

$D_{min} = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$.

Подставляем найденное значение радиуса $R = 3 \text{ см}$:

$D_{min} = 3\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ: $3\sqrt{2}$ см.

347. Найдите площадь правильного:
а) треугольника со стороной 5 см;
б) шестиугольника со стороной 2 см.

а) треугольника со стороной 5 см

Дано:

Сторона правильного треугольника $a = 5 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$a = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Площадь правильного треугольника $S_{\text{тр}}$

Решение

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{тр}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a = 5 \text{ см}$ в формулу:

$S_{\text{тр}} = \frac{(5 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$

Вычислим приблизительное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S_{\text{тр}} \approx \frac{25 \times 1.73205}{4} = \frac{43.30125}{4} \approx 10.83 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь правильного треугольника равна $\frac{25 \sqrt{3}}{4} \text{ см}^2$ или приблизительно $10.83 \text{ см}^2$.

б) шестиугольника со стороной 2 см

Дано:

Сторона правильного шестиугольника $a = 2 \text{ см}$

Перевод в систему СИ:

$a = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь правильного шестиугольника $S_{\text{шест}}$

Решение

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть правильных (равносторонних) треугольников со стороной, равной стороне шестиугольника. Площадь одного такого треугольника равна $S_{\text{тр}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$.

Следовательно, площадь правильного шестиугольника будет в 6 раз больше:

$S_{\text{шест}} = 6 \times S_{\text{тр}} = 6 \times \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{3a^2 \sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 2 \text{ см}$ в формулу:

$S_{\text{шест}} = \frac{3 \times (2 \text{ см})^2 \sqrt{3}}{2} = \frac{3 \times 4 \sqrt{3}}{2} = \frac{12 \sqrt{3}}{2} = 6 \sqrt{3} \text{ см}^2$

Вычислим приблизительное значение, используя $\sqrt{3} \approx 1.73205$:

$S_{\text{шест}} \approx 6 \times 1.73205 = 10.3923 \text{ см}^2 \approx 10.39 \text{ см}^2$

Ответ: Площадь правильного шестиугольника равна $6 \sqrt{3} \text{ см}^2$ или приблизительно $10.39 \text{ см}^2$.

348. Найдите с точностью до $0.1 \, \text{cm}^2$ площадь правильного:

а) девятиугольника, если радиус описанной около него окружности равен $2 \, \text{cm}$;

б) десятиугольника, если радиус описанной около него окружности равен $4 \, \text{cm}$.

а) девятиугольника, если радиус описанной около него окружности равен 2 см

Дано:

Количество сторон $n = 9$

Радиус описанной окружности $R = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Площадь $S$

Решение:

Площадь правильного $n$-угольника, описанного около окружности радиуса $R$, вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Для девятиугольника ($n=9$):

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot (2 \text{ см})^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{9}\right)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 \text{ см}^2 \cdot \sin(40^\circ)$

$S = 18 \text{ см}^2 \cdot \sin(40^\circ)$

Используя значение $\sin(40^\circ) \approx 0.6427876$:

$S \approx 18 \text{ см}^2 \cdot 0.6427876$

$S \approx 11.5701768 \text{ см}^2$

Округляем до 0,1 см$^2$: $S \approx 11.6 \text{ см}^2$.

Ответ: $11.6 \text{ см}^2$

б) десятиугольника, если радиус описанной около него окружности равен 4 см

Дано:

Количество сторон $n = 10$

Радиус описанной окружности $R = 4 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$R = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь $S$

Решение:

Площадь правильного $n$-угольника, описанного около окружности радиуса $R$, вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} n R^2 \sin\left(\frac{360^\circ}{n}\right)$

Для десятиугольника ($n=10$):

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot (4 \text{ см})^2 \cdot \sin\left(\frac{360^\circ}{10}\right)$

$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 16 \text{ см}^2 \cdot \sin(36^\circ)$

$S = 80 \text{ см}^2 \cdot \sin(36^\circ)$

Используя значение $\sin(36^\circ) \approx 0.58778525$:

$S \approx 80 \text{ см}^2 \cdot 0.58778525$

$S \approx 47.02282 \text{ см}^2$

Округляем до 0,1 см$^2$: $S \approx 47.0 \text{ см}^2$.

Ответ: $47.0 \text{ см}^2$

349.
a) Какую часть площади правильного шестиугольника составляет площадь многоугольника, вершинами которого являются середины сторон данного шестиугольника?
б) Правильный шестиугольник разрежьте на семь частей так, чтобы из них можно было составить два правильных шестиугольника, площади которых относятся как $3 : 1$.

a) Какую часть площади правильного шестиугольника составляет площадь многоугольника, вершинами которого являются середины сторон данного шестиугольника?

Дано:
Правильный шестиугольник $H_1$ со стороной $a$.
Многоугольник $H_2$, вершинами которого являются середины сторон $H_1$.

Найти:
Отношение площади $H_2$ к площади $H_1$, то есть $\frac{S_2}{S_1}$.

Решение:
Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле: $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
Пусть сторона исходного правильного шестиугольника $H_1$ равна $a$. Тогда его площадь: $S_1 = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$.
Многоугольник $H_2$, вершинами которого являются середины сторон $H_1$, также является правильным шестиугольником.
Рассмотрим исходный шестиугольник, разделенный на 6 равных правильных треугольников, сходящихся в центре. Сторона каждого такого треугольника равна $a$. Высота такого треугольника, проведенная к стороне $a$ (апофема шестиугольника), равна $h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Вершины нового шестиугольника $H_2$ - это середины сторон $H_1$. Расстояние от центра исходного шестиугольника до середины любой его стороны равно апофеме $h$. Таким образом, сторона нового шестиугольника $H_2$ равна $a' = h = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Теперь найдем площадь $H_2$: $S_2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}(a')^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2}\left(a^2\frac{3}{4}\right) = \frac{9\sqrt{3}}{8}a^2$.
Найдем отношение площадей $\frac{S_2}{S_1}$: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{8}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2} = \frac{9/8}{3/2} = \frac{9}{8} \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{4}$.
Альтернативное решение (через вычитание угловых треугольников):
Исходный шестиугольник $H_1$ (сторона $a$) можно представить как внутренний шестиугольник $H_2$ (сторона $a'$) и 6 угловых треугольников.
Каждый угловой треугольник имеет две стороны длиной $a/2$ (половины сторон исходного шестиугольника) и угол $120^\circ$ между ними (угол правильного шестиугольника).
Площадь одного такого углового треугольника: $S_{тр} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \sin(120^\circ) = \frac{1}{2} \cdot \frac{a^2}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{16}a^2$.
Суммарная площадь 6 угловых треугольников: $6 \cdot S_{тр} = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{16}a^2 = \frac{3\sqrt{3}}{8}a^2$.
Площадь $H_2$ равна площади $H_1$ минус суммарная площадь 6 угловых треугольников: $S_2 = S_1 - 6 S_{тр} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2 - \frac{3\sqrt{3}}{8}a^2 = \left(\frac{12\sqrt{3}}{8} - \frac{3\sqrt{3}}{8}\right)a^2 = \frac{9\sqrt{3}}{8}a^2$.
Отношение площадей: $\frac{S_2}{S_1} = \frac{\frac{9\sqrt{3}}{8}a^2}{\frac{3\sqrt{3}}{2}a^2} = \frac{3}{4}$.

Ответ: $3/4$.

б) Правильный шестиугольник разрежьте на семь частей так, чтобы из них можно было составить два правильных шестиугольника, площади которых относятся как 3 : 1.

Дано:
Правильный шестиугольник $H$ площадью $S_H$.
Требуется разрезать $H$ на 7 частей, из которых можно составить два правильных шестиугольника $H_A$ и $H_B$ так, что $S_A : S_B = 3 : 1$.

Найти:
Описание разрезания и сборки.

Решение:
Пусть площадь исходного шестиугольника $H$ равна $S_H$.
Если площади двух новых шестиугольников $H_A$ и $H_B$ относятся как $3:1$, то $S_A = 3k$ и $S_B = k$.
Так как эти два шестиугольника составлены из частей исходного, их суммарная площадь должна быть равна площади исходного шестиугольника (при условии, что части плоские и не перекрываются): $S_A + S_B = S_H$ $3k + k = S_H \implies 4k = S_H \implies k = \frac{1}{4}S_H$.
Следовательно, площади двух новых шестиугольников: $S_A = \frac{3}{4}S_H$ $S_B = \frac{1}{4}S_H$.
Пусть $L$ - сторона исходного шестиугольника $H$. Тогда $S_H = \frac{3\sqrt{3}}{2}L^2$.
Найдем стороны $s_A$ и $s_B$ новых шестиугольников. Для $H_A$: $\frac{3\sqrt{3}}{2}s_A^2 = \frac{3}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}L^2 \implies s_A^2 = \frac{3}{4}L^2 \implies s_A = L\frac{\sqrt{3}}{2}$. Для $H_B$: $\frac{3\sqrt{3}}{2}s_B^2 = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\sqrt{3}}{2}L^2 \implies s_B^2 = \frac{1}{4}L^2 \implies s_B = \frac{1}{2}L$.
Таким образом, нам нужно разрезать исходный шестиугольник (сторона $L$) на 7 частей, из которых можно составить шестиугольник со стороной $L\frac{\sqrt{3}}{2}$ и шестиугольник со стороной $L/2$.
Описанный в части (а) способ разрезания правильного шестиугольника на внутренний шестиугольник и 6 угловых треугольников идеально подходит:
Описание разрезания:
1. Начертите правильный шестиугольник. 2. Найдите середины всех его шести сторон. 3. Соедините последовательно эти середины. Получившийся внутренний шестиугольник будет первой частью. Этот внутренний шестиугольник имеет сторону $L\frac{\sqrt{3}}{2}$ и площадь $\frac{3}{4}S_H$, что соответствует большему из искомых шестиугольников ($H_A$). 4. Оставшиеся 6 частей — это угловые треугольники. Каждый такой треугольник является равнобедренным с углом $120^\circ$ между равными сторонами. Длина этих равных сторон равна $L/2$. Длина третьей стороны (основания) равна $L\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Таким образом, мы получили 7 частей: 1 центральный шестиугольник ($H_A$) и 6 одинаковых угловых треугольников.
Описание сборки:
1. Центральный шестиугольник, полученный в результате разрезания, уже является одним из искомых шестиугольников ($H_A$). 2. Для построения второго, меньшего шестиугольника ($H_B$) используйте 6 угловых треугольников. Площадь каждого такого треугольника составляет $\frac{\sqrt{3}}{16}L^2$, а суммарная площадь 6 таких треугольников равна $\frac{3\sqrt{3}}{8}L^2$, что соответствует площади $H_B$. 3. Каждый угловой треугольник имеет две стороны длиной $L/2$ и одну сторону длиной $L\frac{\sqrt{3}}{2}$. Углы треугольника $30^\circ, 30^\circ, 120^\circ$. 4. Возьмите два угловых треугольника. Соедините их по их самой длинной стороне ($L\frac{\sqrt{3}}{2}$). В результате получится ромб с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ и сторонами $L/2$. 5. Повторите этот шаг для оставшихся четырех треугольников, чтобы получить еще два таких ромба. В итоге у вас будет 3 одинаковых ромба. 6. Из этих трех ромбов можно составить правильный шестиугольник. Для этого поместите ромбы вокруг центральной точки так, чтобы их острые углы ($60^\circ$) сошлись в центре. Стороны ромбов длиной $L/2$ образуют внешний периметр шестиугольника. Этот составленный шестиугольник будет меньшим из искомых ($H_B$), со стороной $L/2$.

Ответ: Разрезание производится путем соединения середин соседних сторон исходного шестиугольника. Центральный шестиугольник является большим из двух искомых. Шесть угловых треугольников попарно соединяются по своим длинным сторонам, образуя три ромба, из которых составляется меньший шестиугольник.