Страница 163 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

365. Найдите радиус дуги, если ее длина равна $\pi$ дм, а радианная мера равна:

а) $\frac{\pi}{4}$;

б) $\frac{5\pi}{6}$.

Дано:

Длина дуги $L = \pi$ дм.

Перевод в СИ:

Длина дуги $L = \pi \text{ дм} = 0.1\pi \text{ м}$.

Радианная мера угла $\alpha$ задана в радианах, что соответствует СИ.

Найти:

Радиус дуги $R$.

Решение

Для нахождения радиуса дуги воспользуемся формулой, связывающей длину дуги $L$, радиус $R$ и радианную меру центрального угла $\alpha$:

$L = R \alpha$

Отсюда выразим радиус $R$:

$R = \frac{L}{\alpha}$

а)

Дано:

Радианная мера $\alpha = \frac{\pi}{4}$.

Перевод в СИ:

Радианная мера $\alpha = \frac{\pi}{4}$ рад.

Найти:

Радиус дуги $R$.

Решение

Подставим значения $L = 0.1\pi \text{ м}$ и $\alpha = \frac{\pi}{4}$ рад в формулу для радиуса:

$R = \frac{0.1\pi}{\frac{\pi}{4}}$

$R = 0.1\pi \cdot \frac{4}{\pi}$

$R = 0.1 \cdot 4$

$R = 0.4 \text{ м}$

Переведем полученное значение обратно в дециметры:

$R = 0.4 \text{ м} = 4 \text{ дм}$

Ответ: 4 дм

б)

Дано:

Радианная мера $\alpha = \frac{5\pi}{6}$.

Перевод в СИ:

Радианная мера $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ рад.

Найти:

Радиус дуги $R$.

Решение

Подставим значения $L = 0.1\pi \text{ м}$ и $\alpha = \frac{5\pi}{6}$ рад в формулу для радиуса:

$R = \frac{0.1\pi}{\frac{5\pi}{6}}$

$R = 0.1\pi \cdot \frac{6}{5\pi}$

$R = 0.1 \cdot \frac{6}{5}$

$R = \frac{0.6}{5}$

$R = 0.12 \text{ м}$

Переведем полученное значение обратно в дециметры:

$R = 0.12 \text{ м} = 1.2 \text{ дм}$

Ответ: 1.2 дм

366. Найдите радианную меру дуги, если ее длина 7 м, а радиус равен:

а) 2 м;

б) 3,5 м.

Дано:

Длина дуги $L = 7$ м

Перевод в СИ:

Все величины (длина дуги и радиус) уже даны в единицах системы СИ (метры), поэтому дополнительный перевод не требуется.

Найти:

Радианная мера дуги $\alpha$

Решение:

Радианная мера дуги ($\alpha$) вычисляется как отношение длины дуги ($L$) к радиусу окружности ($R$). Формула для радианной меры дуги выглядит следующим образом:

$\alpha = \frac{L}{R}$

а)

В данном случае, радиус $R = 2$ м.

Подставим известные значения в формулу:

$\alpha = \frac{7 \, \text{м}}{2 \, \text{м}} = 3.5$ радиан

Ответ: $3.5$ радиан

б)

В данном случае, радиус $R = 3.5$ м.

Подставим известные значения в формулу:

$\alpha = \frac{7 \, \text{м}}{3.5 \, \text{м}} = 2$ радиана

Ответ: $2$ радиана

367. Минутная стрелка часов имеет длину 0,6 м. Какова длина дуги, которую описывает конец стрелки в течение:

а) 15 минут;

б) 50 минут?

Дано:

Длина минутной стрелки: $L = 0.6 \text{ м}$

Перевод в систему СИ:

Длина минутной стрелки: $L = 0.6 \text{ м}$ (величина уже представлена в системе СИ)

Найти:

a) Длина дуги, описываемой концом стрелки в течение 15 минут: $S_a$

б) Длина дуги, описываемой концом стрелки в течение 50 минут: $S_b$

Решение:

Длина дуги $S$, описываемой концом стрелки, движущейся по окружности, определяется формулой: $S = L \cdot \theta$, где $L$ — радиус окружности (в данном случае длина минутной стрелки), а $\theta$ — угол поворота в радианах.

Минутная стрелка совершает полный оборот, что составляет $360^\circ$ или $2\pi$ радиан, за 60 минут. Определим угловую скорость $\omega$ минутной стрелки:

$\omega = \frac{2\pi \text{ рад}}{60 \text{ мин}} = \frac{\pi}{30} \frac{\text{рад}}{\text{мин}}$.

a) 15 минут

За время $t_a = 15 \text{ минут}$ минутная стрелка повернется на угол $\theta_a$:

$\theta_a = \omega \cdot t_a = \frac{\pi}{30} \frac{\text{рад}}{\text{мин}} \cdot 15 \text{ мин} = \frac{15\pi}{30} \text{ рад} = \frac{\pi}{2} \text{ рад}$.

Теперь вычислим длину дуги $S_a$:

$S_a = L \cdot \theta_a = 0.6 \text{ м} \cdot \frac{\pi}{2} \text{ рад} = 0.3\pi \text{ м}$.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получим:

$S_a \approx 0.3 \cdot 3.14159 \text{ м} \approx 0.942 \text{ м}$.

Ответ: 0.942 м

б) 50 минут

За время $t_b = 50 \text{ минут}$ минутная стрелка повернется на угол $\theta_b$:

$\theta_b = \omega \cdot t_b = \frac{\pi}{30} \frac{\text{рад}}{\text{мин}} \cdot 50 \text{ мин} = \frac{50\pi}{30} \text{ рад} = \frac{5\pi}{3} \text{ рад}$.

Теперь вычислим длину дуги $S_b$:

$S_b = L \cdot \theta_b = 0.6 \text{ м} \cdot \frac{5\pi}{3} \text{ рад} = \frac{3.0\pi}{3} \text{ м} = \pi \text{ м}$.

Используя приближенное значение $\pi \approx 3.14159$, получим:

$S_b \approx 3.14159 \text{ м} \approx 3.14 \text{ м}$.

Ответ: 3.14 м

368. а) Найдите длину маятника настенных часов, если центральный угол, в котором он колеблется, не превышает $30^\circ$, а длина наибольшей дуги, описываемой концом маятника, равна 2 дм.

б) Найдите путь, который преодолевает пассажир в кабинке колеса обозрения «Ailand», расположенного в городе Нур-Султане (рисунок 196), за одну минуту, если его диаметр 65 м, а время полного оборота 12 минут.

a) Найдите длину маятника настенных часов

Дано:

Угол колебаний: $\alpha = 30^\circ$

Длина дуги: $L = 2$ дм

Перевод в СИ:

Угол колебаний в радианах: $\alpha = 30^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{\pi}{6}$ рад

Длина дуги: $L = 2$ дм $ = 0.2$ м

Найти:

Длина маятника: $R$

Решение:

Длина дуги окружности, описываемой при центральном угле $\alpha$ и радиусе $R$, вычисляется по формуле:

$L = R \alpha$

Из этой формулы выразим радиус $R$ (который в данном случае является длиной маятника):

$R = \frac{L}{\alpha}$

Подставим числовые значения:

$R = \frac{0.2 \, \text{м}}{\frac{\pi}{6} \, \text{рад}} = \frac{0.2 \cdot 6}{\pi} \, \text{м} = \frac{1.2}{\pi} \, \text{м}$

Приближенное значение: $\pi \approx 3.14159$

$R \approx \frac{1.2}{3.14159} \approx 0.38197 \, \text{м}$

Если требуется ответ в дециметрах, то $0.38197 \, \text{м} = 3.8197$ дм.

Ответ: Длина маятника составляет примерно $0.382$ м или $3.82$ дм.

б) Найдите путь, который преодолевает пассажир в кабинке колеса обозрения «Ailand»

Дано:

Диаметр колеса: $D = 65$ м

Время полного оборота: $T = 12$ минут

Время движения: $t = 1$ минута

Перевод в СИ:

Диаметр колеса: $D = 65$ м

Время полного оборота: $T = 12 \cdot 60 = 720$ с

Время движения: $t = 1 \cdot 60 = 60$ с

Найти:

Путь, преодолеваемый пассажиром за 1 минуту: $S$

Решение:

Сначала найдем длину окружности колеса обозрения (путь, преодолеваемый за один полный оборот).

$C = \pi D$

Подставим значение диаметра:

$C = \pi \cdot 65 \, \text{м} = 65\pi \, \text{м}$

Колесо делает полный оборот за 12 минут. Нам нужно найти путь, который преодолевается за 1 минуту. Это означает, что за 1 минуту колесо делает $\frac{1}{12}$ часть полного оборота.

Путь $S$, который преодолевает пассажир за 1 минуту, будет равен $\frac{1}{12}$ от длины окружности:

$S = \frac{1}{12} C$

Подставим значение $C$:

$S = \frac{1}{12} \cdot 65\pi \, \text{м} = \frac{65\pi}{12} \, \text{м}$

Приближенное значение: $\pi \approx 3.14159$

$S \approx \frac{65 \cdot 3.14159}{12} \, \text{м} \approx \frac{204.20335}{12} \, \text{м} \approx 17.017 \, \text{м}$

Ответ: Путь, который преодолевает пассажир за одну минуту, составляет примерно $17.02$ м.