Страница 170 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

386. Найдите площадь круга, если длина ограничивающей его окружности $12\pi$ см.

Дано:

Длина ограничивающей окружности $C = 12\pi$ см

Перевод в СИ:

$C = 12\pi$ см $= 0.12\pi$ м

Найти:

Площадь круга $S$

Решение:

1. Для начала найдем радиус круга. Длина окружности $C$ связана с радиусом $r$ формулой: $C = 2\pi r$.

2. Подставим известное значение длины окружности в формулу:

$12\pi = 2\pi r$

3. Чтобы найти радиус $r$, разделим обе части уравнения на $2\pi$:

$r = \frac{12\pi}{2\pi}$

$r = 6$ см

4. Теперь, зная радиус, мы можем найти площадь круга $S$. Формула для площади круга: $S = \pi r^2$.

5. Подставим найденное значение радиуса $r = 6$ см в формулу площади:

$S = \pi (6)^2$

$S = \pi \cdot 36$

$S = 36\pi$ см$^2$

Ответ: $36\pi$ см$^2$

окружности 12 см.

387. Градусная мера дуги окружности 120°, а ее радиус 6 см. Найдите с точностью до 0,1 см длину этой дуги.

Дано:

Градусная мера дуги окружности $\alpha = 120^\circ$

Радиус окружности $R = 6 \text{ см}$

Перевод в СИ:

Радиус $R = 6 \text{ см} = 0.06 \text{ м}$ (для вычислений оставим в сантиметрах, чтобы получить ответ в сантиметрах, как требуется)

Найти:

Длина дуги $L$

Решение:

Длина дуги окружности может быть найдена по формуле:

$L = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Подставим известные значения в формулу:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \text{ см} \cdot 120^\circ}{180^\circ}$

Сократим градусы и числа:

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 120}{180} \text{ см}$

$L = \frac{\pi \cdot 6 \cdot 2}{3} \text{ см}$

$L = \frac{12\pi}{3} \text{ см}$

$L = 4\pi \text{ см}$

Используем приближенное значение $\pi \approx 3.14159$ для вычисления числового значения:

$L \approx 4 \cdot 3.14159 \text{ см}$

$L \approx 12.56636 \text{ см}$

Округлим результат до 0,1 см, то есть до одного знака после запятой:

$L \approx 12.6 \text{ см}$

Ответ: $12.6 \text{ см}$

Найдите с точностью до 0,1 см длину этой дуги.

388. Доказать, что сумма двух углов правильного многоугольника, внутреннего и центрального, равна $180^\circ$.

Дано: Правильный $n$-угольник.

Найти: Доказать, что сумма внутреннего и центрального углов правильного $n$-угольника равна $180^\circ$.

Решение:

Пусть $\alpha_n$ — внутренний угол правильного $n$-угольника. Сумма внутренних углов любого $n$-угольника равна $(n-2) \times 180^\circ$. Поскольку правильный $n$-угольник имеет $n$ равных внутренних углов, то величина одного внутреннего угла выражается формулой:

$\alpha_n = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

Пусть $\beta_n$ — центральный угол правильного $n$-угольника. Центральный угол образуется двумя радиусами, проведенными из центра многоугольника к соседним вершинам. Сумма всех центральных углов, соответствующих сторонам правильного $n$-угольника и образуемых вокруг его центра, составляет $360^\circ$. Поскольку в правильном $n$-угольнике $n$ равных сторон, то величина одного центрального угла выражается формулой:

$\beta_n = \frac{360^\circ}{n}$

Теперь найдем сумму внутреннего и центрального углов:

$\alpha_n + \beta_n = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n} + \frac{360^\circ}{n}$

Объединим дроби с общим знаменателем $n$:

$\alpha_n + \beta_n = \frac{180^\circ(n-2) + 360^\circ}{n}$

Раскроем скобки в числителе:

$\alpha_n + \beta_n = \frac{180^\circ n - 360^\circ + 360^\circ}{n}$

В числителе $-360^\circ$ и $+360^\circ$ взаимно уничтожаются:

$\alpha_n + \beta_n = \frac{180^\circ n}{n}$

Сократим $n$ в числителе и знаменателе:

$\alpha_n + \beta_n = 180^\circ$

Таким образом, сумма внутреннего и центрального углов правильного многоугольника равна $180^\circ$, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.

389. a) Валик, диаметр поперечного сечения которого равен 2 см, опилен так, что в поперечном сечении получился квадрат. Каков наибольший размер может иметь сторона этого квадрата?
б) На два шкива, радиусы которых равны 0,9 м и 0,3 м, а расстояния между их центрами 2,4 м, туго натянут ремень. Найдите с точностью до 0,01 м длину одной части этого ремня, которая не касается шкивов.

а)

Дано:

Диаметр валика $D = 2 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$D = 2 \text{ см} = 0.02 \text{ м}$

Найти:

Наибольший размер стороны квадрата $a$.

Решение:

Для того чтобы квадрат, выпиленный из круглого валика, имел наибольший возможный размер стороны, его вершины должны лежать на окружности поперечного сечения валика. В этом случае диаметр окружности будет равен диагонали квадрата.

Пусть сторона квадрата равна $a$, а диаметр валика равен $D$.

По теореме Пифагора, диагональ квадрата со стороной $a$ вычисляется как $\sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Таким образом, мы имеем равенство: $D = a\sqrt{2}$.

Из этого уравнения выразим сторону квадрата $a$:

$a = \frac{D}{\sqrt{2}}$

Подставим заданное значение диаметра $D = 2 \text{ см}$:

$a = \frac{2}{\sqrt{2}} \text{ см}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$a = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} \text{ см} = \frac{2\sqrt{2}}{2} \text{ см} = \sqrt{2} \text{ см}$

Приближенное значение $\sqrt{2} \approx 1.414 \text{ см}$.

Ответ: $\sqrt{2} \text{ см}$ (приблизительно $1.41 \text{ см}$)

б)

Дано:

Радиус первого шкива $R_1 = 0.9 \text{ м}$

Радиус второго шкива $R_2 = 0.3 \text{ м}$

Расстояние между центрами шкивов $L = 2.4 \text{ м}$

Перевод в СИ:

Все данные уже представлены в системе СИ.

Найти:

Длина одной части ремня, которая не касается шкивов $S$, с точностью до $0.01 \text{ м}$.

Решение:

Части ремня, которые не касаются шкивов, представляют собой общие внешние касательные к двум окружностям (поперечным сечениям шкивов).

Пусть $O_1$ и $O_2$ - центры шкивов, а $T_1$ и $T_2$ - точки касания ремня с окружностями шкивов. Отрезок $T_1T_2$ - это искомая длина.

Проведем радиусы $O_1T_1$ и $O_2T_2$. Эти радиусы перпендикулярны касательной $T_1T_2$.

Опустим перпендикуляр из центра меньшего шкива $O_2$ на радиус $O_1T_1$ большего шкива. Пусть точка пересечения будет $K$.

Образуется прямоугольник $O_2T_2T_1K$, в котором $O_2K = T_1T_2$ и $O_2T_2 = KT_1 = R_2$.

Также образуется прямоугольный треугольник $O_1KO_2$.

Длины сторон этого треугольника:

• Гипотенуза: $O_1O_2 = L$ (расстояние между центрами).
• Один катет: $O_1K = O_1T_1 - KT_1 = R_1 - R_2$.
• Второй катет: $O_2K$, который равен искомой длине $S = T_1T_2$.

По теореме Пифагора для треугольника $O_1KO_2$:

$L^2 = (R_1 - R_2)^2 + S^2$

Отсюда выразим $S$:

$S^2 = L^2 - (R_1 - R_2)^2$

$S = \sqrt{L^2 - (R_1 - R_2)^2}$

Подставим данные значения:

$R_1 = 0.9 \text{ м}$

$R_2 = 0.3 \text{ м}$

$L = 2.4 \text{ м}$

Вычислим разность радиусов: $R_1 - R_2 = 0.9 - 0.3 = 0.6 \text{ м}$.

Теперь подставим значения в формулу для $S$:

$S = \sqrt{(2.4)^2 - (0.6)^2}$

$S = \sqrt{5.76 - 0.36}$

$S = \sqrt{5.4}$

Вычислим значение и округлим до $0.01 \text{ м}$:

$S \approx 2.32379 \text{ м}$

Округляем до сотых:

$S \approx 2.32 \text{ м}$

Ответ: $2.32 \text{ м}$

390. a) Сторона вписанного в окружность квадрата равна $8\sqrt{2}$ см. Найдите площадь описанного около этой окружности правильного треугольника.

б) Каждая сторона описанного около окружности треугольника на $\sqrt{6}$ см больше стороны правильного четырехугольника, вписанного в нее. Найдите сторону треугольника.

в) Разность между радиусами окружностей, описанной около правильного треугольника и вписанной в него, равна 4 см. Найдите площадь этого треугольника.

a)

Дано:

Сторона квадрата, вписанного в окружность: $a_4 = 8\sqrt{2}$ см.

Перевод в СИ:

Сторона квадрата $a_4 = 8\sqrt{2}$ см $= 8\sqrt{2} \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь правильного треугольника, описанного около этой окружности: $S_3$.

Решение:

Пусть $R$ - радиус окружности.

Для квадрата со стороной $a_4$, вписанного в окружность, радиус описанной окружности $R$ связан со стороной квадрата формулой $a_4 = R\sqrt{2}$.

Отсюда, $R = \frac{a_4}{\sqrt{2}} = \frac{8\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 8$ см.

Радиус окружности, описанной около квадрата, является одновременно радиусом окружности, вписанной в правильный треугольник, описанный около этой же окружности. То есть, радиус вписанной окружности для треугольника $r = R = 8$ см.

Сторона $a_3$ правильного треугольника, описанного около окружности радиуса $r$, определяется по формуле $a_3 = 2r\sqrt{3}$.

$a_3 = 2 \cdot 8 \cdot \sqrt{3} = 16\sqrt{3}$ см.

Площадь правильного треугольника $S_3$ со стороной $a_3$ вычисляется по формуле $S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_3 = \frac{(16\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{16^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{256 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{768\sqrt{3}}{4} = 192\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $192\sqrt{3}$ см$^2$.

б)

Дано:

Разность между стороной описанного около окружности треугольника $a_3$ и стороной правильного четырехугольника (квадрата) $a_4$, вписанного в ту же окружность: $a_3 - a_4 = \sqrt{6}$ см.

Перевод в СИ:

Разность сторон $a_3 - a_4 = \sqrt{6}$ см $= \sqrt{6} \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Сторона треугольника $a_3$.

Решение:

Пусть $R$ - радиус окружности.

Сторона правильного четырехугольника (квадрата), вписанного в окружность радиуса $R$, равна $a_4 = R\sqrt{2}$.

Сторона правильного треугольника, описанного около окружности радиуса $R$ (радиус этой окружности является радиусом вписанной окружности для треугольника), равна $a_3 = 2R\sqrt{3}$.

По условию задачи, $a_3 - a_4 = \sqrt{6}$.

Подставим выражения для $a_3$ и $a_4$ в данное равенство:

$2R\sqrt{3} - R\sqrt{2} = \sqrt{6}$

Вынесем $R$ за скобки:

$R(2\sqrt{3} - \sqrt{2}) = \sqrt{6}$

Выразим $R$:

$R = \frac{\sqrt{6}}{2\sqrt{3} - \sqrt{2}}$

Рационализируем знаменатель, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2\sqrt{3} + \sqrt{2})$:

$R = \frac{\sqrt{6}(2\sqrt{3} + \sqrt{2})}{(2\sqrt{3} - \sqrt{2})(2\sqrt{3} + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{18} + \sqrt{12}}{(2\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$

$R = \frac{2 \cdot 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{4 \cdot 3 - 2} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{12 - 2} = \frac{6\sqrt{2} + 2\sqrt{3}}{10} = \frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{5}$ см.

Теперь найдем сторону треугольника $a_3$:

$a_3 = 2R\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \cdot \left(\frac{3\sqrt{2} + \sqrt{3}}{5}\right)$

$a_3 = \frac{2\sqrt{3} \cdot 3\sqrt{2} + 2\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}}{5} = \frac{6\sqrt{6} + 2 \cdot 3}{5} = \frac{6\sqrt{6} + 6}{5}$ см.

Ответ: $\frac{6\sqrt{6} + 6}{5}$ см.

в)

Дано:

Разность между радиусами окружностей, описанной около правильного треугольника ($R$) и вписанной в него ($r$): $R - r = 4$ см.

Перевод в СИ:

Разность радиусов $R - r = 4$ см $= 4 \cdot 10^{-2}$ м.

Найти:

Площадь этого треугольника $S_3$.

Решение:

Для правильного треугольника радиус описанной окружности $R$ и радиус вписанной окружности $r$ связаны соотношением $R = 2r$.

Подставим это соотношение в данное условие $R - r = 4$:

$2r - r = 4$

$r = 4$ см.

Тогда радиус описанной окружности $R = 2r = 2 \cdot 4 = 8$ см.

Сторона правильного треугольника $a_3$ может быть найдена через радиус вписанной окружности $r$ по формуле $a_3 = 2r\sqrt{3}$.

$a_3 = 2 \cdot 4 \cdot \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ см.

Площадь правильного треугольника $S_3$ со стороной $a_3$ вычисляется по формуле $S_3 = \frac{a_3^2\sqrt{3}}{4}$.

$S_3 = \frac{(8\sqrt{3})^2\sqrt{3}}{4} = \frac{8^2 \cdot (\sqrt{3})^2 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{64 \cdot 3 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{192\sqrt{3}}{4} = 48\sqrt{3}$ см$^2$.

Ответ: $48\sqrt{3}$ см$^2$.

391. Найдите радиус окружности, если известно, что периметр описанного около нее многоугольника равен 60 см, а площадь – 240 $см^2$. Может ли такой многоугольник быть правильным?

Дано

Периметр многоугольника $P = 60 \text{ см}$

Площадь многоугольника $S = 240 \text{ см}^2$

Перевод в СИ:

$P = 60 \text{ см} = 0.6 \text{ м}$

$S = 240 \text{ см}^2 = 0.024 \text{ м}^2$

Найти:

Радиус окружности $r$

Может ли многоугольник быть правильным?

Решение

Найти радиус окружности

Формула для площади многоугольника, описанного около окружности, связана с его периметром $P$ и радиусом $r$ вписанной окружности. Эта формула применима для любого тангенциального многоугольника:

$S = \frac{1}{2} P r$

Чтобы найти радиус $r$, выразим его из формулы:

$r = \frac{2S}{P}$

Подставим известные значения периметра и площади:

$r = \frac{2 \times 240 \text{ см}^2}{60 \text{ см}}$

$r = \frac{480 \text{ см}^2}{60 \text{ см}}$

$r = 8 \text{ см}$

Ответ: Радиус окружности равен 8 см.

Может ли такой многоугольник быть правильным?

Многоугольник, описанный около окружности (то есть такой, в который можно вписать окружность так, что все его стороны будут касаться этой окружности), называется тангенциальным многоугольником. Правильный многоугольник всегда является тангенциальным.

Формула $S = \frac{1}{2} P r$ верна для любого тангенциального многоугольника. Условия, заданные в задаче (периметр, площадь и найденный радиус вписанной окружности), не противоречат тому, что многоугольник является правильным. Это означает, что существует как минимум один правильный многоугольник (или несколько), который мог бы удовлетворять данным условиям, поскольку правильные многоугольники являются частным случаем тангенциальных многоугольников. Таким образом, да, такой многоугольник может быть правильным.

Ответ: Да, такой многоугольник может быть правильным.

392. Пол в комнате прямоугольной формы размером $6 \text{ м} \times 3.64 \text{ м}$ хотят покрыть паркетом в форме правильного шестиугольника со стороной 12 см. Хватит ли для этого 600 паркетных плиток?

Дано:

Длина комнаты $L = 6 \text{ м}$

Ширина комнаты $W = 3.64 \text{ м}$

Сторона паркетной плитки $a = 12 \text{ см}$

Количество имеющихся плиток $N_{\text{available}} = 600 \text{ шт.}$

Перевод в СИ:

$L = 6 \text{ м}$

$W = 3.64 \text{ м}$

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Хватит ли 600 паркетных плиток для покрытия пола?

Решение:

1. Вычислим площадь пола комнаты, которая имеет прямоугольную форму. Площадь прямоугольника определяется как произведение его длины на ширину:

$S_{\text{комнаты}} = L \times W$

$S_{\text{комнаты}} = 6 \text{ м} \times 3.64 \text{ м}$

$S_{\text{комнаты}} = 21.84 \text{ м}^2$

2. Вычислим площадь одной паркетной плитки. Плитка имеет форму правильного шестиугольника. Площадь правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{плитки}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}a^2$

Подставим значение $a = 0.12 \text{ м}$:

$S_{\text{плитки}} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times (0.12 \text{ м})^2$

$S_{\text{плитки}} = \frac{3 \times 1.7320508}{2} \times 0.0144 \text{ м}^2$

$S_{\text{плитки}} \approx 2.5980762 \times 0.0144 \text{ м}^2$

$S_{\text{плитки}} \approx 0.037412297 \text{ м}^2$

3. Вычислим общую площадь, которую могут покрыть 600 паркетных плиток:

$S_{\text{покрытия}} = N_{\text{available}} \times S_{\text{плитки}}$

$S_{\text{покрытия}} = 600 \times 0.037412297 \text{ м}^2$

$S_{\text{покрытия}} \approx 22.4473782 \text{ м}^2$

4. Сравним площадь пола комнаты с общей площадью, которую могут покрыть имеющиеся плитки:

$S_{\text{комнаты}} = 21.84 \text{ м}^2$

$S_{\text{покрытия}} \approx 22.4473782 \text{ м}^2$

Поскольку $S_{\text{покрытия}} > S_{\text{комнаты}}$ ($22.4473782 \text{ м}^2 > 21.84 \text{ м}^2$), 600 паркетных плиток будет достаточно для покрытия пола.

Ответ: Хватит.