Страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

405. Угловая величина дуги сегмента равна $120^\circ$, а ее длина равна $b$. Найдите длину окружности наибольшего радиуса, вписанной в этот сегмент. (Окружность считается вписанной в сегмент, если она касается его дуги и хорды.)

Дано:

Угловая величина дуги сегмента: $\alpha = 120^\circ$
Длина дуги сегмента: $b$

Перевод в СИ:

Угол $\alpha$ в радианах: $\alpha = 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Длина окружности наибольшего радиуса, вписанной в этот сегмент ($L$).

Решение:

Пусть $R$ — радиус исходной окружности, из которой вырезан сегмент. Длина дуги сегмента $b$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в радианах) формулой: $b = R\alpha$ Отсюда выразим радиус $R$: $R = \frac{b}{\alpha} = \frac{b}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{3b}{2\pi}$

Теперь рассмотрим геометрию вписанной окружности. Окружность считается вписанной в сегмент, если она касается его дуги и хорды. Пусть $O$ — центр исходной окружности, а $O'$ — центр вписанной окружности. Ось симметрии сегмента проходит через центр $O$, середину хорды и середину дуги. Пусть $P$ — середина дуги, $K$ — середина хорды. Расстояние от центра $O$ до середины дуги $P$ равно радиусу исходной окружности $R$. Расстояние от центра $O$ до середины хорды $K$ равно $OK = R \cos(\frac{\alpha}{2})$. Так как $\alpha = 120^\circ$, то $\frac{\alpha}{2} = 60^\circ$. Следовательно, $OK = R \cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.

Вписанная окружность касается дуги сегмента в точке $P$ и хорды сегмента в точке $K$. Радиус вписанной окружности $r$. Расстояние от центра вписанной окружности $O'$ до точки касания с дугой $P$ равно $r$. Точка $O'$ лежит на отрезке $OP$. Поэтому $OO' = OP - O'P = R - r$. Расстояние от центра вписанной окружности $O'$ до точки касания с хордой $K$ равно $r$. Точка $O'$ также лежит на отрезке $OK$. Поэтому $OO' = OK + O'K = R \cos(\frac{\alpha}{2}) + r$. Приравниваем два выражения для $OO'$: $R - r = R \cos(\frac{\alpha}{2}) + r$ $R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = 2r$ $r = \frac{R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))}{2}$

Подставим значение $\frac{\alpha}{2} = 60^\circ$: $r = \frac{R(1 - \cos(60^\circ))}{2} = \frac{R(1 - \frac{1}{2})}{2} = \frac{R(\frac{1}{2})}{2} = \frac{R}{4}$

Теперь подставим выражение для $R$ через $b$: $r = \frac{1}{4} \cdot \frac{3b}{2\pi} = \frac{3b}{8\pi}$

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. $L = 2\pi \cdot \frac{3b}{8\pi} = \frac{6\pi b}{8\pi} = \frac{3b}{4}$

Ответ:

Длина окружности наибольшего радиуса, вписанной в сегмент, равна $\frac{3b}{4}$.

406. a) Около правильного треугольника со стороной 4 см описана окружность, и в него вписана окружность. Найдите площадь полученного при этом кольца.

б) Около правильного шестиугольника со стороной $b$ описана окружность, и в него вписана окружность. Найдите площадь кольца, образованного этими окружностями.

а)

Дано

сторона правильного треугольника $a = 4$ см

Перевод всех данных в систему СИ

$a = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Площадь кольца $S_{\text{кольца}}$

Решение

Площадь кольца, образованного описанной и вписанной окружностями, находится по формуле: $S_{\text{кольца}} = S_{\text{описанной}} - S_{\text{вписанной}}$.

Площадь круга выражается как $S = \pi r^2$, где $r$ – радиус. Следовательно, $S_{\text{кольца}} = \pi R^2 - \pi r^2 = \pi (R^2 - r^2)$, где $R$ – радиус описанной окружности, а $r$ – радиус вписанной окружности.

Для правильного треугольника со стороной $a$ радиусы описанной и вписанной окружностей выражаются следующими формулами:

Радиус описанной окружности: $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Подставим значение $a = 4$ см:

$R = \frac{4}{\sqrt{3}}$ см

$r = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$ см

Найдем квадраты радиусов:

$R^2 = \left(\frac{4}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{16}{3}$

$r^2 = \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 = \frac{4}{3}$

Теперь найдем площадь кольца:

$S_{\text{кольца}} = \pi \left(R^2 - r^2\right) = \pi \left(\frac{16}{3} - \frac{4}{3}\right) = \pi \left(\frac{16-4}{3}\right) = \pi \left(\frac{12}{3}\right) = 4\pi$

Ответ: $4\pi$ см$^2$

б)

Дано

сторона правильного шестиугольника $b$

Перевод всех данных в систему СИ

Сторона $b$ является буквенным обозначением длины и не требует численного перевода.

Найти:

Площадь кольца $S_{\text{кольца}}$

Решение

Площадь кольца находится по формуле: $S_{\text{кольца}} = \pi (R^2 - r^2)$, где $R$ – радиус описанной окружности, а $r$ – радиус вписанной окружности.

Для правильного шестиугольника со стороной $b$ радиусы описанной и вписанной окружностей выражаются следующими формулами:

Радиус описанной окружности: $R = b$

Радиус вписанной окружности: $r = \frac{b\sqrt{3}}{2}$

Найдем квадраты радиусов:

$R^2 = b^2$

$r^2 = \left(\frac{b\sqrt{3}}{2}\right)^2 = \frac{b^2 \cdot (\sqrt{3})^2}{2^2} = \frac{3b^2}{4}$

Теперь найдем площадь кольца:

$S_{\text{кольца}} = \pi \left(R^2 - r^2\right) = \pi \left(b^2 - \frac{3b^2}{4}\right)$

Приведем к общему знаменателю:

$S_{\text{кольца}} = \pi \left(\frac{4b^2}{4} - \frac{3b^2}{4}\right) = \pi \left(\frac{4b^2 - 3b^2}{4}\right) = \pi \frac{b^2}{4}$

Ответ: $\frac{\pi b^2}{4}$

407. Около круга описана равнобедренная трапеция с острым углом $a$ и периметром $2p$. Найдите отношение площади трапеции к площади круга.

Дано:

Равнобедренная трапеция, описанная около круга.

Острый угол трапеции: $\alpha$

Периметр трапеции: $P = 2p$

Перевод в СИ: Не требуется, так как даны символьные величины.

Найти:

Отношение площади трапеции к площади круга: $\frac{S_{трапеции}}{S_{круга}}$

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, а $c$ - длина боковой стороны. Поскольку трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны $c$.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. То есть, $a+b = 2c$.

Периметр трапеции $P$ задан как $2p$. Периметр также равен сумме всех сторон: $P = a+b+2c$.

Подставим $a+b = 2c$ в формулу периметра: $P = 2c+2c = 4c$.

Так как $P = 2p$, имеем $4c = 2p$, откуда $c = \frac{2p}{4} = \frac{p}{2}$.

Следовательно, сумма оснований $a+b = 2c = 2 \cdot \frac{p}{2} = p$.

Пусть $h$ - высота трапеции, а $R$ - радиус вписанной окружности. Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: $h = 2R$.

В равнобедренной трапеции опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, а одним из острых углов - острый угол трапеции $\alpha$. Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем: $\sin \alpha = \frac{h}{c}$.

Выразим высоту $h$: $h = c \sin \alpha$.

Подставим найденное значение $c = \frac{p}{2}$: $h = \frac{p}{2} \sin \alpha$.

Так как $h = 2R$, получаем $2R = \frac{p}{2} \sin \alpha$.

Отсюда радиус вписанной окружности: $R = \frac{p}{4} \sin \alpha$.

Теперь найдем площадь трапеции $S_{трапеции}$. Формула площади трапеции: $S_{трапеции} = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Подставим $a+b = p$ и $h = 2R$: $S_{трапеции} = \frac{p}{2} \cdot 2R = pR$.

Подставим выражение для $R$: $S_{трапеции} = p \left( \frac{p}{4} \sin \alpha \right) = \frac{p^2}{4} \sin \alpha$.

Найдем площадь круга $S_{круга}$. Формула площади круга: $S_{круга} = \pi R^2$.

Подставим выражение для $R$: $S_{круга} = \pi \left( \frac{p}{4} \sin \alpha \right)^2 = \pi \frac{p^2}{16} \sin^2 \alpha$.

Теперь найдем отношение площади трапеции к площади круга:

$\frac{S_{трапеции}}{S_{круга}} = \frac{\frac{p^2}{4} \sin \alpha}{\pi \frac{p^2}{16} \sin^2 \alpha}$

Сократим общие множители $p^2$ и $\sin \alpha$:

$\frac{S_{трапеции}}{S_{круга}} = \frac{1/4}{\pi/16 \sin \alpha} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{\pi \sin \alpha} = \frac{4}{\pi \sin \alpha}$

Ответ: $\frac{4}{\pi \sin \alpha}$

408. Найдите площадь фигуры, состоящей из четырех луночек, образованных окружностью, описанной вокруг квадрата, и полуокружностями, построенными на сторонах квадрата как на диаметрах (рисунок 205), если сторона квадрата равна 4 см.

Рисунок 205

Дано:

Сторона квадрата $a = 4 \text{ см}$.

Найти:

Площадь фигуры, состоящей из четырех луночек $S_{луночек}$.

Решение:

1. Определим радиус полуокружности, построенной на стороне квадрата. Диаметр такой полуокружности равен стороне квадрата $a$. Следовательно, радиус полуокружности $r = \frac{a}{2}$.

2. Найдем площадь одной такой полуокружности. Формула площади полуокружности: $S_{полуокр} = \frac{1}{2} \pi r^2$. Подставив $r = \frac{a}{2}$, получим:

$S_{полуокр} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$.

3. Определим радиус окружности, описанной вокруг квадрата. Диагональ квадрата является диаметром этой окружности. Длина диагонали квадрата $d_{кв} = a\sqrt{2}$. Следовательно, радиус описанной окружности $R = \frac{d_{кв}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

4. Рассмотрим один сегмент описанной окружности, отсекаемый стороной квадрата. Луночка образована полуокружностью, построенной на стороне квадрата, и сегментом описанной окружности, опирающимся на ту же сторону.

Для нахождения площади сегмента нам потребуется площадь сектора и площадь треугольника, образованного двумя радиусами описанной окружности и стороной квадрата.

Угол, который сторона квадрата образует в центре описанной окружности, равен $90^\circ$ (поскольку квадрат делит окружность на четыре равных сектора).

Площадь сектора: $S_{сектор} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$.

5. Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и стороной квадрата. Этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами $R$.

$S_{треугольник} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{4}$.

6. Найдем площадь одного сегмента описанной окружности:

$S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{треугольник} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}$.

7. Найдем площадь одной луночки. Площадь луночки $S_{луночка}$ является разностью между площадью полуокружности, построенной на стороне квадрата, и площадью сегмента описанной окружности, опирающегося на ту же сторону:

$S_{луночка} = S_{полуокр} - S_{сегмент}$

$S_{луночка} = \left(\frac{\pi a^2}{8}\right) - \left(\frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}\right)$

$S_{луночка} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{\pi a^2}{8} + \frac{a^2}{4}$

$S_{луночка} = \frac{a^2}{4}$.

8. Поскольку фигура состоит из четырех таких луночек, общая площадь $S_{луночек}$ будет:

$S_{луночек} = 4 \cdot S_{луночка} = 4 \cdot \frac{a^2}{4} = a^2$.

9. Подставим заданное значение стороны квадрата $a = 4 \text{ см}$:

$S_{луночек} = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь фигуры, состоящей из четырех луночек, равна $16 \text{ см}^2$.

409. Сторона правильного треугольника равна $a$. Из его центра радиусом $\frac{a}{3}$ проведена окружность. Найдите площадь той части треугольника, которая находится вне этой окружности.

Дано:

Сторона правильного треугольника: $a$

Радиус окружности: $R = \frac{a}{3}$

Центр окружности совпадает с центром треугольника.

Найти:

Площадь той части треугольника, которая находится вне этой окружности.

Решение:

1. Площадь правильного треугольника:

Площадь правильного треугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{треугольника}} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Радиус вписанной окружности (инрадиус) для правильного треугольника:

Центр правильного треугольника является также центром вписанной окружности. Радиус этой окружности (инрадиус) равен:

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

3. Сравнение радиуса заданной окружности с инрадиусом:

Радиус данной окружности $R = \frac{a}{3}$. Сравним его с инрадиусом $r$:

$R = \frac{a}{3} = \frac{2a}{6}$

$r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$

Так как $2 > \sqrt{3}$ (что эквивалентно $2^2 > (\sqrt{3})^2$, то есть $4 > 3$), то $R > r$. Это означает, что окружность выходит за пределы вписанной окружности и пересекает стороны треугольника.

4. Определение области пересечения треугольника и окружности:

Поскольку окружность центрирована в центре треугольника и $R > r$, она пересекает каждую сторону треугольника в двух точках. Часть круга, которая находится вне треугольника, состоит из трёх одинаковых круговых сегментов.

Для определения площади этих сегментов, сначала найдём угол сектора, соответствующего каждому сегменту. Рассмотрим одну сторону треугольника. Расстояние от центра треугольника до середины этой стороны равно $r$. Пусть $P$ и $Q$ - точки пересечения окружности со стороной. Пусть $M$ - середина стороны. В прямоугольном треугольнике $\triangle OMP$, где $O$ - центр, $OM = r = \frac{a\sqrt{3}}{6}$, а $OP = R = \frac{a}{3}$.

Длина отрезка $MP$ (половина хорды $PQ$) находится по теореме Пифагора:

$MP = \sqrt{R^2 - r^2} = \sqrt{\left(\frac{a}{3}\right)^2 - \left(\frac{a\sqrt{3}}{6}\right)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{9} - \frac{3a^2}{36}} = \sqrt{\frac{a^2}{9} - \frac{a^2}{12}} = \sqrt{\frac{4a^2 - 3a^2}{36}} = \sqrt{\frac{a^2}{36}} = \frac{a}{6}$.

Теперь найдем синус угла $\angle MOP$:

$\sin(\angle MOP) = \frac{MP}{OP} = \frac{a/6}{a/3} = \frac{1}{2}$.

Следовательно, $\angle MOP = 30^\circ$.

Угол, образованный радиусами $OP$ и $OQ$, идущими к точкам пересечения $P$ и $Q$ на одной стороне, равен $2 \times \angle MOP = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.

5. Площадь одного кругового сегмента вне треугольника:

Площадь кругового сектора с углом $60^\circ$ и радиусом $R = \frac{a}{3}$:

$S_{\text{сектора}} = \frac{60}{360} \pi R^2 = \frac{1}{6} \pi \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{1}{6} \frac{\pi a^2}{9} = \frac{\pi a^2}{54}$

Площадь треугольника, образованного центром $O$ и точками пересечения $P, Q$:

$S_{\triangle OPQ} = \frac{1}{2} R^2 \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \left(\frac{a}{3}\right)^2 \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \frac{a^2}{9} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2\sqrt{3}}{36}$

Площадь одного кругового сегмента (часть круга вне треугольника):

$S_{\text{сегмента}} = S_{\text{сектора}} - S_{\triangle OPQ} = \frac{\pi a^2}{54} - \frac{a^2\sqrt{3}}{36}$

6. Общая площадь части окружности вне треугольника:

Так как таких сегментов три (по одному для каждой стороны треугольника):

$S_{\text{окружности вне треугольника}} = 3 \times S_{\text{сегмента}} = 3 \left(\frac{\pi a^2}{54} - \frac{a^2\sqrt{3}}{36}\right) = \frac{3\pi a^2}{54} - \frac{3a^2\sqrt{3}}{36} = \frac{\pi a^2}{18} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

7. Площадь части треугольника внутри окружности (пересечение):

Площадь всего круга:

$S_{\text{круга}} = \pi R^2 = \pi \left(\frac{a}{3}\right)^2 = \frac{\pi a^2}{9}$

Площадь части треугольника, которая находится внутри окружности (площадь пересечения), равна площади всего круга минус та часть круга, которая находится вне треугольника:

$S_{\text{пересечения}} = S_{\text{круга}} - S_{\text{окружности вне треугольника}}$

$S_{\text{пересечения}} = \frac{\pi a^2}{9} - \left(\frac{\pi a^2}{18} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\right)$

$S_{\text{пересечения}} = \frac{2\pi a^2}{18} - \frac{\pi a^2}{18} + \frac{a^2\sqrt{3}}{12} = \frac{\pi a^2}{18} + \frac{a^2\sqrt{3}}{12}$

8. Площадь части треугольника вне окружности:

Искомая площадь - это площадь всего треугольника минус площадь его части, находящейся внутри окружности:

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = S_{\text{треугольника}} - S_{\text{пересечения}}$

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} - \left(\frac{\pi a^2}{18} + \frac{a^2\sqrt{3}}{12}\right)$

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12} - \frac{\pi a^2}{18}$

Приведём к общему знаменателю для членов с $\sqrt{3}$ (общий знаменатель 12):

$\frac{3a^2\sqrt{3}}{12} - \frac{a^2\sqrt{3}}{12} = \frac{2a^2\sqrt{3}}{12} = \frac{a^2\sqrt{3}}{6}$

Итоговая площадь:

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = \frac{a^2\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi a^2}{18}$

Можно вынести общий множитель $a^2$:

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = a^2 \left(\frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{\pi}{18}\right)$

Или привести дроби в скобках к общему знаменателю 18:

$S_{\text{треугольника вне окружности}} = a^2 \left(\frac{3\sqrt{3}}{18} - \frac{\pi}{18}\right) = \frac{a^2}{18} (3\sqrt{3} - \pi)$

Ответ:

$ \frac{a^2}{18} (3\sqrt{3} - \pi) $

410.

1A) Сколько сторон имеет правильный многоугольник, угол которого равен $135^\circ$?

2A) Сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, равна 12 см. Найдите площадь описанного около этой окружности квадрата.

3В) Постройте с помощью циркуля и линейки правильный двенадцатиугольник.

4В) Дан правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$. Построены дуги окружностей с центрами в точках $A, B, C$ радиуса $0,5a$ (рисунок 206). Найдите площадь фигуры $MNK$.

5С) Равнобедренный треугольник с боковой стороной $2\sqrt{3}$ см и углом $120^\circ$ при его вершине вписан в круг. Найдите площадь сегмента, ограниченного боковой стороной и не содержащего данный треугольник.

1A)

Дано:

Правильный многоугольник

Внутренний угол $\alpha = 135^\circ$

Перевод в СИ: (Не применимо, угол уже в градусах.)

Найти:

Количество сторон $n$.

Решение:

Формула для внутреннего угла правильного многоугольника с $n$ сторонами:

$\alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Подставим значение $\alpha = 135^\circ$:

$135^\circ = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n}$

Умножим обе части на $n$:

$135n = (n-2) \cdot 180$

$135n = 180n - 360$

Перенесем члены с $n$ в одну сторону:

$135n - 180n = -360$

$-45n = -360$

Разделим обе части на $-45$:

$n = \frac{-360}{-45}$

$n = 8$

Ответ: 8 сторон

2A)

Дано:

Правильный шестиугольник вписан в окружность.

Сторона шестиугольника $a_6 = 12$ см.

Перевод в СИ:

$a_6 = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

Найти:

Площадь квадрата $S_{\text{кв}}$, описанного около этой окружности.

Решение:

Для правильного шестиугольника, вписанного в окружность, его сторона $a_6$ равна радиусу $R$ описанной окружности.

$R = a_6 = 12 \text{ см}$

Квадрат, описанный около окружности, имеет сторону $s$, равную диаметру этой окружности.

$s = 2R$

$s = 2 \cdot 12 \text{ см} = 24 \text{ см}$

Площадь квадрата $S_{\text{кв}}$ вычисляется по формуле:

$S_{\text{кв}} = s^2$

$S_{\text{кв}} = (24 \text{ см})^2 = 576 \text{ см}^2$

Ответ: $576 \text{ см}^2$

3B)

Решение:

Для построения правильного двенадцатиугольника с помощью циркуля и линейки можно использовать следующий метод:

1. Нарисуйте окружность с центром $O$ и произвольным радиусом $R$.

2. Проведите любой диаметр $AD$ через центр $O$. Точки $A$ и $D$ будут первыми двумя вершинами двенадцатиугольника.

3. Постройте диаметр $BC$, перпендикулярный $AD$. Для этого можно провести дуги с центром в $A$ и $D$ радиусом, большим $R$, найти точки их пересечения, и провести через них прямую, которая пройдет через $O$ и пересечет окружность в точках $B$ и $C$. Таким образом, получены 4 вершины квадрата, вписанного в окружность.

4. Теперь нужно найти дополнительные 8 вершин. Это можно сделать, используя свойство правильного шестиугольника: его сторона равна радиусу описанной окружности. Отложите от точки $A$ (или любой другой вершины) радиусом $R$ на окружности точки, которые будут соответствовать вершинам правильного шестиугольника. Например, из $A$ отложите $R$ на окружности, получите точку $E$. Из $E$ отложите $R$, получите $F$, и так далее. Это даст 6 вершин ($A, E, F, ...$) с центральным углом $60^\circ$ между соседними вершинами.

5. Чтобы получить 12 вершин, каждую из этих 60-градусных дуг нужно разделить пополам (построить биссектрисы центральных углов). Для этого, например, для дуги $AE$, установите циркуль в $A$ и $E$ с радиусом, большим половины дуги, проведите дуги до пересечения. Прямая, проходящая через $O$ и точку пересечения этих дуг, пересечет окружность в новой вершине.

6. Повторите шаг 5 для всех шести 60-градусных дуг. Это даст еще 6 вершин. В итоге получится 12 равноотстоящих точек на окружности.

7. Соедините последовательно все 12 полученных точек отрезками. Это будет правильный двенадцатиугольник.

Ответ: Построение описано выше.

4B)

Дано:

Правильный треугольник $ABC$ со стороной $a$.

Построены дуги окружностей с центрами в точках $A, B, C$ радиуса $r = 0.5a$.

Перевод в СИ: (Значения остаются в буквенном выражении.)

Найти:

Площадь фигуры $MNK$.

Решение:

Фигура $MNK$ является частью треугольника $ABC$, которая не покрыта тремя круговыми секторами, построенными в его вершинах.

1. Найдем площадь правильного треугольника $ABC$.

Формула площади правильного треугольника со стороной $a$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4}$

2. Найдем площадь каждого из трех круговых секторов.

Углы правильного треугольника равны $60^\circ$. Каждый сектор имеет центральный угол $\theta = 60^\circ$ и радиус $r = 0.5a$.

Площадь одного сектора $S_{\text{сектор}}$:

$S_{\text{сектор}} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi r^2$

$S_{\text{сектор}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (0.5a)^2$

$S_{\text{сектор}} = \frac{1}{6} \cdot \pi (0.25a^2)$

$S_{\text{сектор}} = \frac{\pi a^2}{24}$

3. Найдем общую площадь трех секторов.

Поскольку секторы расположены в углах треугольника и радиус $r = 0.5a$ меньше половины высоты треугольника, они не перекрываются между собой. Следовательно, их суммарная площадь просто равна утроенной площади одного сектора.

$S_{\text{3 сектора}} = 3 \cdot S_{\text{сектор}} = 3 \cdot \frac{\pi a^2}{24} = \frac{\pi a^2}{8}$

4. Найдем площадь фигуры $MNK$.

Площадь фигуры $MNK$ равна площади треугольника $ABC$ минус суммарная площадь трех секторов:

$S_{MNK} = S_{\triangle ABC} - S_{\text{3 сектора}}$

$S_{MNK} = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} - \frac{\pi a^2}{8}$

Вынесем общий множитель $a^2$:

$S_{MNK} = a^2 \left( \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{\pi}{8} \right)$

Приведем к общему знаменателю:

$S_{MNK} = a^2 \left( \frac{2\sqrt{3}}{8} - \frac{\pi}{8} \right)$

$S_{MNK} = \frac{a^2}{8} (2\sqrt{3} - \pi)$

Ответ: $\frac{a^2}{8} (2\sqrt{3} - \pi)$

5C)

Дано:

Равнобедренный треугольник вписан в круг.

Боковая сторона $b = 2\sqrt{3}$ см.

Угол при вершине $\gamma = 120^\circ$.

Перевод в СИ:

$b = 2\sqrt{3} \text{ см} \approx 0.0346 \text{ м}$

$\gamma = 120^\circ$

Найти:

Площадь сегмента, ограниченного боковой стороной и не содержащего данный треугольник.

Решение:

1. Найдем радиус $R$ окружности, описанной около треугольника.

Обозначим треугольник $ABC$, где $AB = AC = b = 2\sqrt{3}$ см, а $\angle A = 120^\circ$.

Так как треугольник равнобедренный, углы при основании $BC$ равны:

$\angle B = \angle C = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$

Воспользуемся теоремой синусов для нахождения радиуса описанной окружности $R$:

$2R = \frac{AB}{\sin C}$

$2R = \frac{2\sqrt{3}}{\sin 30^\circ}$

$2R = \frac{2\sqrt{3}}{1/2}$

$2R = 4\sqrt{3}$

$R = 2\sqrt{3}$ см.

Таким образом, радиус описанной окружности равен длине боковой стороны треугольника.

2. Определим сегмент и его центральный угол.

Сегмент ограничен боковой стороной (например, $AB$) и не содержит данный треугольник. Это означает, что мы ищем площадь меньшего из двух сегментов, отсекаемых хордой $AB$.

Поскольку длина хорды $AB$ равна радиусу $R$ ($AB = 2\sqrt{3}$ см, $R = 2\sqrt{3}$ см), центральный угол $\theta$, опирающийся на эту хорду, равен $60^\circ$ (треугольник, образованный двумя радиусами и хордой, является равносторонним).

3. Найдем площадь сектора, соответствующего этому сегменту.

Радиус сектора $R = 2\sqrt{3}$ см, центральный угол $\theta = 60^\circ$.

$S_{\text{сектор}} = \frac{\theta}{360^\circ} \cdot \pi R^2$

$S_{\text{сектор}} = \frac{60^\circ}{360^\circ} \cdot \pi (2\sqrt{3})^2$

$S_{\text{сектор}} = \frac{1}{6} \cdot \pi (4 \cdot 3)$

$S_{\text{сектор}} = \frac{1}{6} \cdot 12\pi = 2\pi \text{ см}^2$

4. Найдем площадь треугольника, образованного радиусами и хордой (треугольник $AOB$, где $O$ - центр окружности).

Так как центральный угол равен $60^\circ$ и две стороны равны $R$, треугольник $AOB$ является равносторонним со стороной $R = 2\sqrt{3}$ см.

Площадь равностороннего треугольника:

$S_{\triangle AOB} = \frac{\sqrt{3}}{4} R^2$

$S_{\triangle AOB} = \frac{\sqrt{3}}{4} (2\sqrt{3})^2$

$S_{\triangle AOB} = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot 12 = 3\sqrt{3} \text{ см}^2$

5. Найдем площадь сегмента.

Площадь сегмента равна площади сектора минус площадь соответствующего треугольника:

$S_{\text{сегмент}} = S_{\text{сектор}} - S_{\triangle AOB}$

$S_{\text{сегмент}} = (2\pi - 3\sqrt{3}) \text{ см}^2$

Ответ: $(2\pi - 3\sqrt{3}) \text{ см}^2$