Номер 407, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

407. Около круга описана равнобедренная трапеция с острым углом $a$ и периметром $2p$. Найдите отношение площади трапеции к площади круга.

Дано:

Равнобедренная трапеция, описанная около круга.

Острый угол трапеции: $\alpha$

Периметр трапеции: $P = 2p$

Перевод в СИ: Не требуется, так как даны символьные величины.

Найти:

Отношение площади трапеции к площади круга: $\frac{S_{трапеции}}{S_{круга}}$

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, а $c$ - длина боковой стороны. Поскольку трапеция равнобедренная, обе боковые стороны равны $c$.

Для трапеции, в которую можно вписать окружность, сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон. То есть, $a+b = 2c$.

Периметр трапеции $P$ задан как $2p$. Периметр также равен сумме всех сторон: $P = a+b+2c$.

Подставим $a+b = 2c$ в формулу периметра: $P = 2c+2c = 4c$.

Так как $P = 2p$, имеем $4c = 2p$, откуда $c = \frac{2p}{4} = \frac{p}{2}$.

Следовательно, сумма оснований $a+b = 2c = 2 \cdot \frac{p}{2} = p$.

Пусть $h$ - высота трапеции, а $R$ - радиус вписанной окружности. Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности: $h = 2R$.

В равнобедренной трапеции опустим высоту из вершины меньшего основания на большее основание. Образуется прямоугольный треугольник, гипотенузой которого является боковая сторона $c$, а одним из острых углов - острый угол трапеции $\alpha$. Высота $h$ является катетом, противолежащим углу $\alpha$.

Из этого прямоугольного треугольника имеем: $\sin \alpha = \frac{h}{c}$.

Выразим высоту $h$: $h = c \sin \alpha$.

Подставим найденное значение $c = \frac{p}{2}$: $h = \frac{p}{2} \sin \alpha$.

Так как $h = 2R$, получаем $2R = \frac{p}{2} \sin \alpha$.

Отсюда радиус вписанной окружности: $R = \frac{p}{4} \sin \alpha$.

Теперь найдем площадь трапеции $S_{трапеции}$. Формула площади трапеции: $S_{трапеции} = \frac{a+b}{2} \cdot h$.

Подставим $a+b = p$ и $h = 2R$: $S_{трапеции} = \frac{p}{2} \cdot 2R = pR$.

Подставим выражение для $R$: $S_{трапеции} = p \left( \frac{p}{4} \sin \alpha \right) = \frac{p^2}{4} \sin \alpha$.

Найдем площадь круга $S_{круга}$. Формула площади круга: $S_{круга} = \pi R^2$.

Подставим выражение для $R$: $S_{круга} = \pi \left( \frac{p}{4} \sin \alpha \right)^2 = \pi \frac{p^2}{16} \sin^2 \alpha$.

Теперь найдем отношение площади трапеции к площади круга:

$\frac{S_{трапеции}}{S_{круга}} = \frac{\frac{p^2}{4} \sin \alpha}{\pi \frac{p^2}{16} \sin^2 \alpha}$

Сократим общие множители $p^2$ и $\sin \alpha$:

$\frac{S_{трапеции}}{S_{круга}} = \frac{1/4}{\pi/16 \sin \alpha} = \frac{1}{4} \cdot \frac{16}{\pi \sin \alpha} = \frac{4}{\pi \sin \alpha}$

Ответ: $\frac{4}{\pi \sin \alpha}$