Номер 401, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

401. Дуга $AB$ составляет $135^\circ$, а ее длина равна $a$. Найдите длину хорды $AB$.

Дано:

Угол дуги $AB$: $\alpha = 135^\circ$

Длина дуги $AB$: $L_{AB} = a$

Перевод в СИ:

Угол $\alpha$ в радианах: $\alpha_{rad} = 135^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{3\pi}{4}$ радиан.

Найти:

Длина хорды $AB$: $l_{AB}$

Решение:

1. Для начала найдем радиус окружности $R$. Длина дуги $L_{AB}$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в градусах) формулой:

$L_{AB} = \frac{\pi R \alpha}{180^\circ}$

Подставим известные значения:

$a = \frac{\pi R \cdot 135^\circ}{180^\circ}$

Упростим дробь $\frac{135}{180}$:

$\frac{135}{180} = \frac{3 \cdot 45}{4 \cdot 45} = \frac{3}{4}$

Тогда уравнение примет вид:

$a = \frac{3\pi R}{4}$

Выразим радиус $R$ из этого уравнения:

$R = \frac{4a}{3\pi}$

2. Теперь найдем длину хорды $AB$. Длина хорды, стягивающей дугу с центральным углом $\alpha$, вычисляется по формуле:

$l_{AB} = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Подставим найденное значение $R$ и данное значение $\alpha$:

$l_{AB} = 2 \cdot \left(\frac{4a}{3\pi}\right) \cdot \sin\left(\frac{135^\circ}{2}\right)$

$l_{AB} = \frac{8a}{3\pi} \cdot \sin(67.5^\circ)$

Для вычисления $\sin(67.5^\circ)$ воспользуемся формулой половинного угла $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$. Здесь $\theta = 135^\circ$.

$\cos(135^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(67.5^\circ) = \sqrt{\frac{1 - \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right)}{2}} = \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{\frac{2+\sqrt{2}}{2}}{2}} = \sqrt{\frac{2+\sqrt{2}}{4}} = \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

Подставим это значение обратно в выражение для $l_{AB}$:

$l_{AB} = \frac{8a}{3\pi} \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$

$l_{AB} = \frac{4a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{3\pi}$

Ответ: $l_{AB} = \frac{4a\sqrt{2+\sqrt{2}}}{3\pi}$