Номер 397, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

397. Выразите площадь правильного восьмиугольника через длины его большей и меньшей диагоналей.

Дано: Правильный восьмиугольник. $D_B$ - длина его большей диагонали, $D_M$ - длина его меньшей диагонали.

Найти: Площадь $S$ восьмиугольника через $D_B$ и $D_M$.

Решение

Рассмотрим правильный восьмиугольник, вписанный в окружность радиуса $R$. Площадь правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, выражается формулой:

$S = \frac{n}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{n}\right)$

Для правильного восьмиугольника $n=8$. Подставим это значение в формулу:

$S = \frac{8}{2} R^2 \sin\left(\frac{2\pi}{8}\right) = 4 R^2 \sin\left(\frac{\pi}{4}\right)$

Поскольку $\sin\left(\frac{\pi}{4}\right) = \sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, получаем:

$S = 4 R^2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} R^2$

Теперь выразим длины большей и меньшей диагоналей восьмиугольника через радиус $R$ описанной окружности.

Большая диагональ ($D_B$) правильного восьмиугольника соединяет две противоположные вершины и, следовательно, проходит через центр описанной окружности. Ее длина равна диаметру этой окружности:

$D_B = 2R$

Меньшая диагональ ($D_M$) правильного восьмиугольника соединяет вершины, между которыми находится одна другая вершина (например, вершины $V_1$ и $V_3$). Рассмотрим треугольник, образованный центром восьмиугольника $O$ и этими двумя вершинами, т.е. $\triangle OV_1V_3$. Стороны $OV_1$ и $OV_3$ являются радиусами описанной окружности, т.е. равны $R$. Угол между этими радиусами $\angle V_1OV_3$ равен двум центральным углам восьмиугольника. Центральный угол равен $\frac{360^\circ}{8} = 45^\circ$. Таким образом, $\angle V_1OV_3 = 2 \times 45^\circ = 90^\circ$.

Применим теорему косинусов к треугольнику $\triangle OV_1V_3$ для нахождения $D_M$:

$D_M^2 = R^2 + R^2 - 2R \cdot R \cos(90^\circ)$

Так как $\cos(90^\circ) = 0$, получаем:

$D_M^2 = 2R^2$

Отсюда, $D_M = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2}$

Мы получили следующие соотношения:

• Площадь: $S = 2\sqrt{2} R^2$
• Большая диагональ: $D_B = 2R$
• Меньшая диагональ: $D_M = R\sqrt{2}$

Чтобы выразить площадь через $D_B$ и $D_M$, рассмотрим произведение этих диагоналей:

$D_B D_M = (2R)(R\sqrt{2}) = 2\sqrt{2} R^2$

Сравнивая это выражение с формулой для площади $S$, видим, что они совпадают:

$S = D_B D_M$

Ответ: $S = D_B D_M$