Номер 395, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

395. Найдите сторону правильного 12-угольника, вписанного в окружность радиусом 4 см.

Дано:

Правильный многоугольник с числом сторон $n = 12$.

Радиус описанной окружности $R = 4 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$n = 12$

$R = 0.04 \text{ м}$

Найти:

Сторона правильного 12-угольника $a_{12}$.

Решение:

Для правильного $n$-угольника, вписанного в окружность радиуса $R$, длина стороны $a_n$ может быть найдена по формуле:

$a_n = 2R \sin\left(\frac{\pi}{n}\right)$

В нашем случае $n = 12$ и $R = 4 \text{ см}$. Подставим эти значения в формулу:

$a_{12} = 2 \cdot 4 \cdot \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$

$a_{12} = 8 \sin\left(\frac{\pi}{12}\right)$

Угол $\frac{\pi}{12}$ радиан равен $15^\circ$. Найдем значение $\sin(15^\circ)$. Мы можем использовать формулу синуса разности углов: $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha \cos\beta - \cos\alpha \sin\beta$.

Пусть $\alpha = 45^\circ$ и $\beta = 30^\circ$. Тогда $15^\circ = 45^\circ - 30^\circ$.

$\sin(15^\circ) = \sin(45^\circ - 30^\circ) = \sin(45^\circ)\cos(30^\circ) - \cos(45^\circ)\sin(30^\circ)$

Известные значения синусов и косинусов для $30^\circ$ и $45^\circ$:

$\sin(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

$\cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(30^\circ) = \frac{1}{2}$

Подставим эти значения:

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6}}{4} - \frac{\sqrt{2}}{4}$

$\sin(15^\circ) = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

Теперь подставим это значение обратно в формулу для $a_{12}$:

$a_{12} = 8 \cdot \left(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}\right)$

$a_{12} = 2(\sqrt{6} - \sqrt{2})$

Ответ:

$2(\sqrt{6} - \sqrt{2}) \text{ см}$