Номер 394, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

394. a) Найдите площадь правильного восьмиугольника со стороной 4 см.

б) Квадрат, сторона которого равна 8 см, срезан по углам так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите площадь этого многоугольника.

a)

Дано:

правильный восьмиугольник

сторона $a = 4$ см

Перевод в СИ:

$a = 4 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

площадь $S_a$

Решение:

площадь правильного $n$-угольника со стороной $a$ вычисляется по формуле:

$S = \frac{n a^2}{4 \tan(\frac{\pi}{n})}$

для восьмиугольника $n=8$. подставляем значения:

$S_a = \frac{8 \cdot (4 \text{ см})^2}{4 \tan(\frac{\pi}{8})}$

$S_a = \frac{8 \cdot 16}{4 \tan(22.5^\circ)}$

$S_a = \frac{128}{4 \tan(\frac{\pi}{8})}$

$S_a = \frac{32}{\tan(\frac{\pi}{8})}$

значение $\tan(\frac{\pi}{8})$ можно найти, используя формулу половинного угла $\tan(\frac{x}{2}) = \frac{1 - \cos x}{\sin x}$. пусть $x = \frac{\pi}{4}$:

$\tan(\frac{\pi}{8}) = \frac{1 - \cos(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4})} = \frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{2 - \sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\tan(\frac{\pi}{8}) = \frac{(2 - \sqrt{2})\sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - 2}{2} = \sqrt{2} - 1$

теперь подставим это значение в формулу для площади:

$S_a = \frac{32}{\sqrt{2} - 1}$

чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} + 1)$:

$S_a = \frac{32(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{32(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{32(\sqrt{2} + 1)}{2 - 1} = \frac{32(\sqrt{2} + 1)}{1}$

$S_a = 32(\sqrt{2} + 1)$ см$^2$

Ответ: $32(\sqrt{2} + 1)$ см$^2$.

б)

Дано:

квадрат со стороной $L = 8$ см

из квадрата срезаны углы, образовав правильный восьмиугольник

Перевод в СИ:

$L = 8 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

площадь $S_b$ этого многоугольника

Решение:

когда углы квадрата срезаются для образования правильного восьмиугольника, срезаются четыре одинаковых равнобедренных прямоугольных треугольника. пусть длина катета каждого такого треугольника равна $x$.

сторона квадрата $L$ состоит из двух катетов $x$ и стороны восьмиугольника $a'$. таким образом, $L = x + a' + x = a' + 2x$.

сторона восьмиугольника $a'$ является гипотенузой этих равнобедренных прямоугольных треугольников, поэтому $a' = x\sqrt{2}$.

подставим $a'$ в первое уравнение:

$L = x\sqrt{2} + 2x = x(2 + \sqrt{2})$

выразим $x$:

$x = \frac{L}{2 + \sqrt{2}}$

подставим $L = 8$ см:

$x = \frac{8}{2 + \sqrt{2}}$

чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{2})$:

$x = \frac{8(2 - \sqrt{2})}{(2 + \sqrt{2})(2 - \sqrt{2})} = \frac{8(2 - \sqrt{2})}{2^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{8(2 - \sqrt{2})}{4 - 2} = \frac{8(2 - \sqrt{2})}{2} = 4(2 - \sqrt{2})$ см

площадь восьмиугольника можно найти, вычтя площади четырех срезанных треугольников из площади исходного квадрата.

площадь квадрата $S_{кв} = L^2 = (8 \text{ см})^2 = 64$ см$^2$.

площадь одного срезанного треугольника $S_{тр} = \frac{1}{2} x^2$:

$S_{тр} = \frac{1}{2} (4(2 - \sqrt{2}))^2 = \frac{1}{2} \cdot 16 (2 - \sqrt{2})^2 = 8 (4 - 4\sqrt{2} + 2) = 8 (6 - 4\sqrt{2}) = 48 - 32\sqrt{2}$ см$^2$

площадь четырех срезанных треугольников $S_{4тр} = 4 \cdot S_{тр} = 4(48 - 32\sqrt{2}) = 192 - 128\sqrt{2}$ см$^2$

площадь восьмиугольника $S_b = S_{кв} - S_{4тр}$:

$S_b = 64 - (192 - 128\sqrt{2})$

$S_b = 64 - 192 + 128\sqrt{2}$

$S_b = 128\sqrt{2} - 128 = 128(\sqrt{2} - 1)$ см$^2$

Ответ: $128(\sqrt{2} - 1)$ см$^2$.