Номер 396, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

396. Найдите диагонали правильного шестиугольника, сторона которого равна 8 см.

Дано

Сторона правильного шестиугольника $a = 8$ см.

Найти

Длины диагоналей правильного шестиугольника.

Решение

В правильном шестиугольнике существуют два типа диагоналей: большие (длинные) и малые (короткие).

1. Большие диагонали (проходящие через центр шестиугольника).

Правильный шестиугольник можно разбить на шесть равных правильных (равносторонних) треугольников, стороны которых равны стороне шестиугольника $a$. Большая диагональ правильного шестиугольника соединяет две противоположные вершины и проходит через его центр. Она состоит из двух радиусов описанной окружности, каждый из которых равен стороне шестиугольника. Следовательно, длина большой диагонали $d_1$ равна удвоенной длине стороны шестиугольника:

$d_1 = 2a$

Подставим заданное значение стороны $a = 8$ см:

$d_1 = 2 \times 8 = 16$ см.

2. Малые диагонали (соединяющие вершины через одну).

Рассмотрим треугольник, образованный двумя смежными сторонами шестиугольника и малой диагональю (например, если вершины шестиугольника обозначены $A, B, C, D, E, F$, то малой диагональю будет $AC$). Треугольник $ABC$ является равнобедренным, так как $AB = BC = a$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$. Следовательно, $\angle ABC = 120^\circ$.

Для нахождения длины малой диагонали $d_2$ (стороны $AC$) применим теорему косинусов к треугольнику $ABC$:

$d_2^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$d_2^2 = a^2 + a^2 - 2 \cdot a \cdot a \cdot \cos(120^\circ)$

Поскольку $\cos(120^\circ) = -\frac{1}{2}$, подставим это значение в уравнение:

$d_2^2 = 2a^2 - 2a^2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$d_2^2 = 2a^2 + a^2$

$d_2^2 = 3a^2$

Извлечем квадратный корень, чтобы найти $d_2$:

$d_2 = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Подставим заданное значение стороны $a = 8$ см:

$d_2 = 8\sqrt{3}$ см.

Ответ

Длины диагоналей правильного шестиугольника равны $16$ см (большие диагонали) и $8\sqrt{3}$ см (малые диагонали).