Номер 398, страница 171 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

398. a) Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри правильного $n$-угольника, до прямых, содержащих его стороны, постоянна.

б) Внутри правильного шестиугольника со стороной $2\sqrt{3}$ дм взята произвольная точка. Найдите сумму расстояний от этой точки до прямых, на которых лежат стороны этого шестиугольника.

а) Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри правильного n-угольника, до прямых, содержащих его стороны, постоянна.

Решение

Рассмотрим произвольный правильный $n$-угольник со стороной $a$. Пусть $P$ — произвольная точка, расположенная внутри этого $n$-угольника. Обозначим расстояния от точки $P$ до прямых, содержащих стороны многоугольника, как $h_1, h_2, \dots, h_n$.

Соединим точку $P$ с каждой вершиной $n$-угольника. Это действие разбивает $n$-угольник на $n$ треугольников. Каждая сторона $n$-угольника является основанием одного из этих треугольников, а соответствующее расстояние $h_i$ является высотой этого треугольника, опущенной из вершины $P$ на эту сторону.

Площадь каждого $i$-го треугольника ($S_i$) может быть выражена как: $S_i = \frac{1}{2} \cdot a \cdot h_i$

Общая площадь $n$-угольника ($S$) равна сумме площадей всех $n$ треугольников: $S = S_1 + S_2 + \dots + S_n$ $S = \frac{1}{2} a h_1 + \frac{1}{2} a h_2 + \dots + \frac{1}{2} a h_n$ $S = \frac{1}{2} a (h_1 + h_2 + \dots + h_n)$

Обозначим сумму расстояний как $\Sigma h = h_1 + h_2 + \dots + h_n$. Тогда: $S = \frac{1}{2} a \Sigma h$

Из этого уравнения выразим сумму расстояний: $\Sigma h = \frac{2S}{a}$

Для заданного правильного $n$-угольника его площадь $S$ и длина стороны $a$ являются постоянными величинами. Следовательно, их отношение $\frac{S}{a}$ также является постоянной величиной, а значит, и сумма расстояний $\Sigma h$ является постоянной для любой точки внутри $n$-угольника.

Заметим, что если точка $P$ совпадает с центром правильного $n$-угольника, то все расстояния $h_i$ равны апофеме (радиусу вписанной окружности) $r$ многоугольника. В этом случае $\Sigma h = n \cdot r$. Также известно, что площадь правильного $n$-угольника выражается как $S = \frac{1}{2} n a r$. Подставляя это в формулу для $\Sigma h$: $\Sigma h = \frac{2 (\frac{1}{2} n a r)}{a} = \frac{n a r}{a} = n r$

Это подтверждает, что сумма расстояний постоянна и равна $n$ умноженному на апофему многоугольника.

Ответ: Сумма расстояний от произвольной точки, взятой внутри правильного $n$-угольника, до прямых, содержащих его стороны, постоянна, так как она равна $n$ умноженному на апофему многоугольника, что является фиксированной величиной для данного $n$-угольника.

б) Внутри правильного шестиугольника со стороной $2\sqrt{3}$ дм взята произвольная точка. Найдите сумму расстояний от этой точки до прямых, на которых лежат стороны этого шестиугольника.

Дано:

Правильный шестиугольник ($n=6$)

Длина стороны $a = 2\sqrt{3}$ дм

Перевод в СИ:

$a = 2\sqrt{3} \text{ дм} = 2\sqrt{3} \cdot 0.1 \text{ м} \approx 0.3464 \text{ м}$

Найти:

Сумма расстояний от точки до сторон шестиугольника $\Sigma h$

Решение

Согласно доказанному в пункте а), сумма расстояний от произвольной точки внутри правильного $n$-угольника до прямых, содержащих его стороны, постоянна и равна $n$ умноженному на апофему (радиус вписанной окружности) $r$ этого многоугольника. Для правильного шестиугольника $n=6$. Формула для апофемы правильного шестиугольника со стороной $a$ имеет вид: $r = \frac{a\sqrt{3}}{2}$

Подставим значение стороны $a = 2\sqrt{3}$ дм: $r = \frac{(2\sqrt{3} \text{ дм})\sqrt{3}}{2} = \frac{2 \cdot 3 \text{ дм}}{2} = \frac{6 \text{ дм}}{2} = 3 \text{ дм}$

Теперь найдем сумму расстояний $\Sigma h$: $\Sigma h = n \cdot r = 6 \cdot 3 \text{ дм} = 18 \text{ дм}$

Ответ: Сумма расстояний от этой точки до прямых, на которых лежат стороны этого шестиугольника, составляет $18 \text{ дм}$.