Номер 405, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

405. Угловая величина дуги сегмента равна $120^\circ$, а ее длина равна $b$. Найдите длину окружности наибольшего радиуса, вписанной в этот сегмент. (Окружность считается вписанной в сегмент, если она касается его дуги и хорды.)

Дано:

Угловая величина дуги сегмента: $\alpha = 120^\circ$
Длина дуги сегмента: $b$

Перевод в СИ:

Угол $\alpha$ в радианах: $\alpha = 120^\circ \cdot \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{2\pi}{3} \text{ рад}$

Найти:

Длина окружности наибольшего радиуса, вписанной в этот сегмент ($L$).

Решение:

Пусть $R$ — радиус исходной окружности, из которой вырезан сегмент. Длина дуги сегмента $b$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ (в радианах) формулой: $b = R\alpha$ Отсюда выразим радиус $R$: $R = \frac{b}{\alpha} = \frac{b}{\frac{2\pi}{3}} = \frac{3b}{2\pi}$

Теперь рассмотрим геометрию вписанной окружности. Окружность считается вписанной в сегмент, если она касается его дуги и хорды. Пусть $O$ — центр исходной окружности, а $O'$ — центр вписанной окружности. Ось симметрии сегмента проходит через центр $O$, середину хорды и середину дуги. Пусть $P$ — середина дуги, $K$ — середина хорды. Расстояние от центра $O$ до середины дуги $P$ равно радиусу исходной окружности $R$. Расстояние от центра $O$ до середины хорды $K$ равно $OK = R \cos(\frac{\alpha}{2})$. Так как $\alpha = 120^\circ$, то $\frac{\alpha}{2} = 60^\circ$. Следовательно, $OK = R \cos(60^\circ) = R \cdot \frac{1}{2} = \frac{R}{2}$.

Вписанная окружность касается дуги сегмента в точке $P$ и хорды сегмента в точке $K$. Радиус вписанной окружности $r$. Расстояние от центра вписанной окружности $O'$ до точки касания с дугой $P$ равно $r$. Точка $O'$ лежит на отрезке $OP$. Поэтому $OO' = OP - O'P = R - r$. Расстояние от центра вписанной окружности $O'$ до точки касания с хордой $K$ равно $r$. Точка $O'$ также лежит на отрезке $OK$. Поэтому $OO' = OK + O'K = R \cos(\frac{\alpha}{2}) + r$. Приравниваем два выражения для $OO'$: $R - r = R \cos(\frac{\alpha}{2}) + r$ $R - R \cos(\frac{\alpha}{2}) = 2r$ $r = \frac{R(1 - \cos(\frac{\alpha}{2}))}{2}$

Подставим значение $\frac{\alpha}{2} = 60^\circ$: $r = \frac{R(1 - \cos(60^\circ))}{2} = \frac{R(1 - \frac{1}{2})}{2} = \frac{R(\frac{1}{2})}{2} = \frac{R}{4}$

Теперь подставим выражение для $R$ через $b$: $r = \frac{1}{4} \cdot \frac{3b}{2\pi} = \frac{3b}{8\pi}$

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi r$. $L = 2\pi \cdot \frac{3b}{8\pi} = \frac{6\pi b}{8\pi} = \frac{3b}{4}$

Ответ:

Длина окружности наибольшего радиуса, вписанной в сегмент, равна $\frac{3b}{4}$.