Номер 408, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

408. Найдите площадь фигуры, состоящей из четырех луночек, образованных окружностью, описанной вокруг квадрата, и полуокружностями, построенными на сторонах квадрата как на диаметрах (рисунок 205), если сторона квадрата равна 4 см.

Рисунок 205

Дано:

Сторона квадрата $a = 4 \text{ см}$.

Найти:

Площадь фигуры, состоящей из четырех луночек $S_{луночек}$.

Решение:

1. Определим радиус полуокружности, построенной на стороне квадрата. Диаметр такой полуокружности равен стороне квадрата $a$. Следовательно, радиус полуокружности $r = \frac{a}{2}$.

2. Найдем площадь одной такой полуокружности. Формула площади полуокружности: $S_{полуокр} = \frac{1}{2} \pi r^2$. Подставив $r = \frac{a}{2}$, получим:

$S_{полуокр} = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{a^2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$.

3. Определим радиус окружности, описанной вокруг квадрата. Диагональ квадрата является диаметром этой окружности. Длина диагонали квадрата $d_{кв} = a\sqrt{2}$. Следовательно, радиус описанной окружности $R = \frac{d_{кв}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

4. Рассмотрим один сегмент описанной окружности, отсекаемый стороной квадрата. Луночка образована полуокружностью, построенной на стороне квадрата, и сегментом описанной окружности, опирающимся на ту же сторону.

Для нахождения площади сегмента нам потребуется площадь сектора и площадь треугольника, образованного двумя радиусами описанной окружности и стороной квадрата.

Угол, который сторона квадрата образует в центре описанной окружности, равен $90^\circ$ (поскольку квадрат делит окружность на четыре равных сектора).

Площадь сектора: $S_{сектор} = \frac{90^\circ}{360^\circ} \cdot \pi R^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{8}$.

5. Площадь треугольника, образованного двумя радиусами и стороной квадрата. Этот треугольник является равнобедренным прямоугольным треугольником с катетами $R$.

$S_{треугольник} = \frac{1}{2} \cdot R \cdot R = \frac{1}{2} R^2 = \frac{1}{2} \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{a^2}{4}$.

6. Найдем площадь одного сегмента описанной окружности:

$S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{треугольник} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}$.

7. Найдем площадь одной луночки. Площадь луночки $S_{луночка}$ является разностью между площадью полуокружности, построенной на стороне квадрата, и площадью сегмента описанной окружности, опирающегося на ту же сторону:

$S_{луночка} = S_{полуокр} - S_{сегмент}$

$S_{луночка} = \left(\frac{\pi a^2}{8}\right) - \left(\frac{\pi a^2}{8} - \frac{a^2}{4}\right)$

$S_{луночка} = \frac{\pi a^2}{8} - \frac{\pi a^2}{8} + \frac{a^2}{4}$

$S_{луночка} = \frac{a^2}{4}$.

8. Поскольку фигура состоит из четырех таких луночек, общая площадь $S_{луночек}$ будет:

$S_{луночек} = 4 \cdot S_{луночка} = 4 \cdot \frac{a^2}{4} = a^2$.

9. Подставим заданное значение стороны квадрата $a = 4 \text{ см}$:

$S_{луночек} = 4^2 = 16 \text{ см}^2$.

Ответ:

Площадь фигуры, состоящей из четырех луночек, равна $16 \text{ см}^2$.