Номер 414, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

414. По данным на рисунках 208, а, б, в, г найдите $x$.

а)

C, B, $50^\circ$, $x$, O, A

б)

D, A, $x$, O, B, C, $50^\circ$

в)

D, B, $60^\circ$, $x$, K, A, $50^\circ$, C

г)

A, B, $90^\circ$, $40^\circ$, $x$, F, D, C

Рисунок 208

а)

Дано

Окружность с центром O.

AB - диаметр.

Дуга CB $= 50^\circ$.

Угол $\angle \text{CBO} = x$.

Перевод в СИ

Так как вычисления проводятся в градусах, перевод в СИ не требуется.

Найти

$x$

Решение

Угол $\angle \text{COB}$ является центральным углом, опирающимся на дугу CB. Следовательно, $\angle \text{COB} = 50^\circ$.

Треугольник BOC является равнобедренным, так как OC и OB - радиусы окружности, то есть OC = OB.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: $\angle \text{OCB} = \angle \text{OBC}$.

Сумма углов в треугольнике BOC равна $180^\circ$.

$\angle \text{OCB} + \angle \text{OBC} + \angle \text{COB} = 180^\circ$.

$2 \cdot \angle \text{OBC} + 50^\circ = 180^\circ$.

$2 \cdot \angle \text{OBC} = 180^\circ - 50^\circ$.

$2 \cdot \angle \text{OBC} = 130^\circ$.

$\angle \text{OBC} = \frac{130^\circ}{2}$.

$\angle \text{OBC} = 65^\circ$.

Так как $\angle \text{OBC} = x$, то $x = 65^\circ$.

Ответ: $x = 65^\circ$

б)

Дано

Касательная AD к окружности в точке A.

Хорда AC.

AB - диаметр.

Дуга BC $= 50^\circ$.

Угол $\angle \text{DAC} = x$.

Перевод в СИ

Так как вычисления проводятся в градусах, перевод в СИ не требуется.

Найти

$x$

Решение

Угол между касательной AD и хордой AC, проведенной из точки касания A, равен половине меры дуги, заключенной между ними (дуги AC).

То есть $x = \angle \text{DAC} = \frac{1}{2} \cdot \text{дуги AC}$.

Так как AB - диаметр, то дуга AB равна $180^\circ$.

Дуга AC = дуга AB - дуга BC.

Дуга AC $= 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

Теперь подставим значение дуги AC в формулу для угла $x$:

$x = \frac{1}{2} \cdot 130^\circ$.

$x = 65^\circ$.

Ответ: $x = 65^\circ$

в)

Дано

Две хорды AD и CB пересекаются в точке K.

Дуга AC $= 50^\circ$.

Дуга BD $= 60^\circ$.

Угол $\angle \text{AKC} = x$.

Перевод в СИ

Так как вычисления проводятся в градусах, перевод в СИ не требуется.

Найти

$x$

Решение

Угол, образованный двумя хордами, пересекающимися внутри окружности, равен половине суммы мер дуг, заключенных между его сторонами и продолжениями сторон.

$\angle \text{AKC} = \frac{1}{2} \cdot (\text{дуги AC} + \text{дуги BD})$.

Подставим данные значения:

$x = \frac{1}{2} \cdot (50^\circ + 60^\circ)$.

$x = \frac{1}{2} \cdot (110^\circ)$.

$x = 55^\circ$.

Ответ: $x = 55^\circ$

г)

Дано

Две секущие AC и FC пересекаются в точке C вне окружности.

Дуга AF $= 90^\circ$.

Дуга BD $= 40^\circ$.

Угол $\angle \text{C} = x$.

Перевод в СИ

Так как вычисления проводятся в градусах, перевод в СИ не требуется.

Найти

$x$

Решение

Угол, образованный двумя секущими, проведенными из одной точки вне окружности, равен половине разности мер большей и меньшей дуг, заключенных между ними.

$\angle \text{C} = \frac{1}{2} \cdot (\text{дуги AF} - \text{дуги BD})$.

Подставим данные значения:

$x = \frac{1}{2} \cdot (90^\circ - 40^\circ)$.

$x = \frac{1}{2} \cdot (50^\circ)$.

$x = 25^\circ$.

Ответ: $x = 25^\circ$