Номер 420, страница 177 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

420. Дано: $|\vec{a}|=|\vec{b}|=|\vec{a}+\vec{b}|=4$.

а) Постройте эти векторы.

б) Найдите $|\vec{a}-\vec{b}|$.

в) Чему равен угол между векторами $\vec{a}+\vec{b}$ и $\vec{a}-\vec{b}$?

Дано:

$|\vec{a}| = 4$

$|\vec{b}| = 4$

$|\vec{a} + \vec{b}| = 4$

Перевод в СИ:

Не требуется, так как величины представлены в абстрактных единицах длины.

Найти:

а) Построить векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

б) $|\vec{a} - \vec{b}|$

в) Угол между векторами $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$.

Решение:

Для начала найдем угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Воспользуемся формулой для модуля суммы векторов через скалярное произведение или через теорему косинусов:

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\phi$, где $\phi$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставляем известные значения:

$4^2 = 4^2 + 4^2 + 2 \cdot 4 \cdot 4 \cos\phi$

$16 = 16 + 16 + 32 \cos\phi$

$16 = 32 + 32 \cos\phi$

$32 \cos\phi = 16 - 32$

$32 \cos\phi = -16$

$\cos\phi = \frac{-16}{32} = -\frac{1}{2}$

Следовательно, $\phi = 120^\circ$.

а) Постройте эти векторы.

Для построения этих векторов можно следовать следующим шагам:

1. Отметьте произвольную точку O (начало координат).

2. Отложите от точки O вектор $\vec{a}$ длиной 4 единицы в любом направлении.

3. От точки O отложите вектор $\vec{b}$ длиной 4 единицы таким образом, чтобы угол между вектором $\vec{a}$ и вектором $\vec{b}$ составлял $120^\circ$.

4. Вектор $\vec{a} + \vec{b}$ будет являться диагональю параллелограмма, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, выходящей из общей начальной точки O. Поскольку $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{a} + \vec{b}|$, то треугольник, образованный векторами $\vec{a}$, $\vec{b}$ (перенесенным к концу $\vec{a}$) и $\vec{a} + \vec{b}$, является равносторонним. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ образуют ромб, и $\vec{a} + \vec{b}$ является его большой диагональю. Угол между $\vec{a}$ и $\vec{b}$ при этом $120^\circ$, а углы между $\vec{a}$ и $\vec{a}+\vec{b}$, а также между $\vec{b}$ и $\vec{a}+\vec{b}$ равны $60^\circ$. Таким образом, указанная выше конструкция будет верной.

Ответ: Построение описано выше.

б) Найдите $|\vec{a} - \vec{b}|$.

Воспользуемся формулой для модуля разности векторов через скалярное произведение или через теорему косинусов:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2|\vec{a}||\vec{b}|\cos\phi$, где $\phi$ — угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Подставляем известные значения $|\vec{a}| = 4$, $|\vec{b}| = 4$ и $\cos\phi = -\frac{1}{2}$:

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4^2 + 4^2 - 2 \cdot 4 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 16 + 16 - 32 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 32 + 16$

$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 48$

$|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3}$

Ответ: $|\vec{a} - \vec{b}| = 4\sqrt{3}$.

в) Чему равен угол между векторами $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$?

Обозначим $\vec{u} = \vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{v} = \vec{a} - \vec{b}$. Угол $\theta$ между этими векторами можно найти, используя формулу скалярного произведения:

$\cos\theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}||\vec{v}|}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{u} \cdot \vec{v}$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})$

По свойству дистрибутивности скалярного произведения:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{a} - \vec{b} \cdot \vec{b}$

Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$) и $\vec{x} \cdot \vec{x} = |\vec{x}|^2$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$

Подставляем известные значения $|\vec{a}| = 4$ и $|\vec{b}| = 4$:

$\vec{u} \cdot \vec{v} = 4^2 - 4^2 = 16 - 16 = 0$

Если скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны.В данном случае $|\vec{u}| = |\vec{a} + \vec{b}| = 4 \neq 0$ и $|\vec{v}| = |\vec{a} - \vec{b}| = 4\sqrt{3} \neq 0$.

Следовательно, угол $\theta = 90^\circ$.

Это также подтверждается геометрическим свойством: диагонали ромба взаимно перпендикулярны, а векторы $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ являются диагоналями ромба, построенного на векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$, так как $|\vec{a}| = |\vec{b}|$.

Ответ: Угол между векторами $\vec{a} + \vec{b}$ и $\vec{a} - \vec{b}$ равен $90^\circ$.