Номер 424, страница 177 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

424. При повороте около точки $M(2\sqrt{5}; 1)$ на $30^\circ$ против часовой стрелки точка $A(3\sqrt{5}; 1)$ отобразилась на точку $B$. Найдите расстояние $AB$.

Дано:

центр поворота $M(x_M, y_M) = (2\sqrt{5}; 1)$

исходная точка $A(x_A, y_A) = (3\sqrt{5}; 1)$

угол поворота $\alpha = 30^\circ$ (против часовой стрелки)

точка $A$ отобразилась в точку $B$

Перевод в СИ:

Перевод в систему СИ не требуется, так как координаты даны в безразмерных единицах, а угол в градусах.

Найти:

расстояние $AB$

Решение:

При повороте вокруг точки $M$, расстояние от центра поворота до исходной точки равно расстоянию от центра поворота до отображенной точки. То есть, $MA = MB$.

Найдем расстояние $MA$ по формуле расстояния между двумя точками:

$MA = \sqrt{(x_A - x_M)^2 + (y_A - y_M)^2}$

$MA = \sqrt{(3\sqrt{5} - 2\sqrt{5})^2 + (1 - 1)^2}$

$MA = \sqrt{(\sqrt{5})^2 + 0^2}$

$MA = \sqrt{5}$

Таким образом, $MB = MA = \sqrt{5}$.

Точки $A$, $M$ и $B$ образуют треугольник $AMB$. В этом треугольнике $MA = MB = \sqrt{5}$. Угол между отрезками $MA$ и $MB$ равен углу поворота, то есть $\angle AMB = 30^\circ$.

Треугольник $AMB$ является равнобедренным. Для нахождения длины стороны $AB$ воспользуемся теоремой косинусов:

$AB^2 = MA^2 + MB^2 - 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos(\angle AMB)$

$AB^2 = (\sqrt{5})^2 + (\sqrt{5})^2 - 2 \cdot (\sqrt{5}) \cdot (\sqrt{5}) \cdot \cos(30^\circ)$

$AB^2 = 5 + 5 - 2 \cdot 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$AB^2 = 10 - 5\sqrt{3}$

$AB = \sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$

Ответ:

$AB = \sqrt{10 - 5\sqrt{3}}$