Номер 431, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

431. a) Постройте прямоугольный треугольник, если даны его ги-потeнуза $c = 8$ см и отношение катетов $b : a = 1 : 2$.

б) Постройте $\triangle ABC$, если $AB : AC = 2 : 3$, $\angle A = 60^\circ$ и биссектриса $AK = 5$ см.

Дано:

Прямоугольный треугольник

Гипотенуза $c = 8$ см

Отношение катетов $b : a = 1 : 2$

Перевод в СИ:

$c = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Построить треугольник.

Решение:

Пусть катеты искомого прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а гипотенуза $c$.

Нам дано отношение катетов $b : a = 1 : 2$, что означает $a = 2b$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим $a = 2b$ в уравнение Пифагора:

$(2b)^2 + b^2 = c^2$

$4b^2 + b^2 = c^2$

$5b^2 = c^2$

Отсюда $b = \frac{c}{\sqrt{5}}$ и $a = \frac{2c}{\sqrt{5}}$.

Поскольку $c = 8$ см, получаем $b = \frac{8}{\sqrt{5}}$ см и $a = \frac{16}{\sqrt{5}}$ см.

Для построения треугольника по гипотенузе и отношению катетов, мы можем использовать углы треугольника. Если $a=2b$, то $\tan A = a/b = 2$. Соответственно, $\angle A = \arctan(2)$. И $\tan B = b/a = 1/2$, так что $\angle B = \arctan(1/2)$. Сумма этих углов равна $90^\circ$, что подтверждает, что угол при вершине $C$ будет прямым.

Алгоритм построения:

1.

Построение гипотенузы:

Проведите отрезок $AB$ длиной $8$ см. Этот отрезок будет гипотенузой искомого прямоугольного треугольника.

2.

Построение вспомогательного треугольника для углов:

Нарисуйте вспомогательную прямую $L$. На ней выберите точку $D$. Отложите на прямой $L$ отрезок $DX = 2$ произвольные единицы (например, $2$ см).

В точке $X$ постройте перпендикуляр к прямой $L$. На этом перпендикуляре отложите отрезок $XY = 1$ произвольную единицу (например, $1$ см).

Соедините точки $D$ и $Y$. Треугольник $DXY$ является прямоугольным с катетами $DX=2$ и $XY=1$. Угол $\angle XDY$ имеет тангенс $XY/DX = 1/2$. Угол $\angle DYX$ имеет тангенс $DX/XY = 2/1 = 2$. Эти углы будут углами нашего искомого треугольника.

3.

Перенос углов:

От точки $B$ отложите угол, равный $\angle XDY$ (т.е. $\arctan(1/2)$), так чтобы одна из его сторон совпадала с отрезком $BA$. Пусть вторая сторона этого угла будет луч $BM$.

От точки $A$ отложите угол, равный $\angle DYX$ (т.е. $\arctan(2)$), так чтобы одна из его сторон совпадала с отрезком $AB$. Пусть вторая сторона этого угла будет луч $AN$.

4.

Нахождение третьей вершины:

Точка пересечения лучей $BM$ и $AN$ является вершиной $C$ искомого прямоугольного треугольника $ABC$. Угол $\angle C$ будет прямым, так как сумма углов $\angle A$ и $\angle B$ (в нашем случае, $\arctan(2)$ и $\arctan(1/2)$) равна $90^\circ$.

Ответ:

Построение описано выше.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$

Отношение сторон $AB : AC = 2 : 3$

Угол $\angle A = 60^\circ$

Биссектриса $AK = 5$ см

Перевод в СИ:

$AK = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Построить $\triangle ABC$.

Решение:

Для построения треугольника с заданным углом, отношением прилегающих сторон и длиной биссектрисы этого угла, мы используем метод подобия.

Воспользуемся формулой для длины биссектрисы: $l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(A/2)$, где $l_a$ - длина биссектрисы $AK$, $b = AC$, $c = AB$.

Пусть $AB = 2k$ и $AC = 3k$ для некоторого коэффициента $k$.

Подставим известные значения в формулу:

$5 = \frac{2 \cdot (3k) \cdot (2k)}{3k + 2k} \cos(60^\circ/2)$

$5 = \frac{12k^2}{5k} \cos(30^\circ)$

$5 = \frac{12k}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$5 = \frac{6k\sqrt{3}}{5}$

$25 = 6k\sqrt{3}$

$k = \frac{25}{6\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{18}$ см.

Таким образом, $AB = 2k = \frac{25\sqrt{3}}{9}$ см и $AC = 3k = \frac{25\sqrt{3}}{6}$ см. Однако, прямая постройка отрезков с такой длиной без использования численных значений является сложной. Вместо этого мы будем использовать метод масштабирования, основанный на свойствах подобных треугольников.

Алгоритм построения:

1.

Построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$:

На произвольном листе бумаги постройте угол $A'$ величиной $60^\circ$.

На одной стороне угла $A'X'$ отложите отрезок $A'B'$ длиной $2$ произвольные единицы (например, $2$ см).

На другой стороне угла $A'Y'$ отложите отрезок $A'C'$ длиной $3$ те же произвольные единицы (например, $3$ см).

Соедините точки $B'$ и $C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ подобен искомому треугольнику $ABC$ (но другого размера).

2.

Построение биссектрисы вспомогательного треугольника:

Постройте биссектрису угла $A'$ треугольника $A'B'C'$. Для этого:

Проведите дугу окружности с центром в $A'$ и произвольным радиусом, которая пересечет стороны $A'B'$ и $A'C'$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

Из точек $P$ и $Q$ как из центров проведите две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть достаточно большим, чтобы дуги пересеклись). Точка их пересечения $R$.

Проведите луч $A'R$. Он будет биссектрисой угла $A'$.

Обозначьте точку пересечения биссектрисы $A'R$ со стороной $B'C'$ как $K'$. Длина отрезка $A'K'$ будет $L'$. Измерьте эту длину $L'$ с помощью линейки.

3.

Масштабирование сторон с использованием теоремы Фалеса:

Нарисуйте произвольный луч $L_1$ с началом в точке $O_0$.

Отложите на $L_1$ отрезки $O_0M = L'$ (измеренная длина биссектрисы $A'K'$) и $O_0N = 5$ см (заданная длина биссектрисы $AK$).

Нарисуйте второй произвольный луч $L_2$ с началом в $O_0$, не лежащий на $L_1$.

На луче $L_2$ отложите отрезок $O_0P_1 = A'B'$ (длина $2$ единицы из шага 1) и $O_0P_2 = A'C'$ (длина $3$ единицы из шага 1).

Проведите отрезок $MP_1$.

Через точку $N$ проведите прямую, параллельную $MP_1$, до пересечения с лучом $L_2$ в точке $P'_1$. Длина $O_0P'_1$ будет искомой длиной стороны $AB$ (по теореме Фалеса: $\frac{O_0P'_1}{O_0P_1} = \frac{O_0N}{O_0M}$).

Проведите отрезок $MP_2$.

Через точку $N$ проведите прямую, параллельную $MP_2$, до пересечения с лучом $L_2$ в точке $P'_2$. Длина $O_0P'_2$ будет искомой длиной стороны $AC$.

4.

Построение искомого треугольника $ABC$:

Начните с вершины $A$ и проведите луч $AL$.

Отложите на луче $AL$ отрезок $AB$, равный длине $O_0P'_1$, полученной в шаге 3.

Отложите от луча $AL$ угол $60^\circ$. На второй стороне этого угла $AM$ отложите отрезок $AC$, равный длине $O_0P'_2$, полученной в шаге 3.

Соедините точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Для проверки можно построить биссектрису $AK$ угла $A$ и убедиться, что ее длина равна $5$ см.

Ответ:

Построение описано выше.