Номер 434, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

434. a) Через точку $A$ окружности с центром $O$ проведены касательная $AB$ и хорда $AC$, $D$ – произвольная точка, принадлежащая большей из дуг $AC$, $ \angle BAC = 72^\circ $. Найдите радианную меру угла $ADC$.

б) $AB$ и $AC$ – касательные к окружности с центром $O$ ($B$ и $C$ – точки касания), $D$ – произвольная точка, принадлежащая большей из дуг $BC$, $OA = 8 \text{ см}$, а расстояние от центра окружности до хорды $BC$ – 6 см. Найдите радианную меру угла $BDC$.

a)

Дано:
Окружность с центром $O$.
Через точку $A$ на окружности проведены касательная $AB$ и хорда $AC$.
$D$ - произвольная точка, принадлежащая большей из дуг $AC$.
$\angle BAC = 72^\circ$.

Найти:
Радианную меру угла $\angle ADC$.

Решение:
Угол между касательной $AB$ и хордой $AC$, проведенной через точку касания $A$, равен половине угловой меры дуги $AC$, заключенной внутри этого угла. То есть, $\angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуги}(AC)_{\text{малой}}$.
Из условия $\angle BAC = 72^\circ$, получаем, что угловая мера малой дуги $AC$ равна:
$\text{дуга}(AC)_{\text{малая}} = 2 \times \angle BAC = 2 \times 72^\circ = 144^\circ$.
Угол $\angle ADC$ является вписанным углом и опирается на ту же малую дугу $AC$ (так как точка $D$ лежит на большей дуге $AC$). Величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, $\angle ADC = \frac{1}{2} \text{дуги}(AC)_{\text{малой}} = \frac{1}{2} \times 144^\circ = 72^\circ$.
Для перевода углов из градусов в радианы используется формула: $\text{угол (радианы)} = \text{угол (градусы)} \times \frac{\pi}{180^\circ}$.
Радианная мера угла $\angle ADC$ составит:
$\angle ADC = 72^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$ радиан.

Ответ: $\frac{2\pi}{5}$ радиан

б)

Дано:
Касательные $AB$ и $AC$ к окружности с центром $O$.
$B$ и $C$ - точки касания.
$D$ - произвольная точка, принадлежащая большей из дуг $BC$.
$OA = 8 \text{ см}$.
Расстояние от центра окружности до хорды $BC$ (обозначим $OM$) $= 6 \text{ см}$.

Найти:
Радианную меру угла $\angle BDC$.

Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, $R = OB = OC$.
Поскольку $AB$ и $AC$ - касательные, проведенные из одной точки $A$ к окружности, то отрезки касательных $AB = AC$. Также, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$.
Таким образом, треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ - прямоугольные с прямыми углами при вершинах $B$ и $C$ соответственно.
Отрезок $OA$ соединяет центр окружности с точкой пересечения касательных. Известно, что $OA$ является биссектрисой угла между касательными $\angle BAC$ и биссектрисой угла $\angle BOC$. Также, $OA$ является перпендикулярной биссектрисой хорды $BC$. Пусть $M$ - точка пересечения $OA$ и $BC$. Тогда $OM \perp BC$, и $M$ - середина $BC$.
По условию, расстояние от центра $O$ до хорды $BC$ равно $6 \text{ см}$, то есть $OM = 6 \text{ см}$.
Поскольку $M$ лежит на отрезке $OA$ (поскольку $OA$ является перпендикулярной биссектрисой $BC$), имеем $OA = OM + MA$.
$8 \text{ см} = 6 \text{ см} + MA$, откуда $MA = 8 - 6 = 2 \text{ см}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$ (прямой угол при $M$). По теореме Пифагора:
$OB^2 = OM^2 + BM^2$
$R^2 = 6^2 + BM^2$
$R^2 = 36 + BM^2$ (1)
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$ (прямой угол при $M$, так как $AM$ является частью $OA$, а $OA \perp BC$). По теореме Пифагора:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$AB^2 = 2^2 + BM^2$
$AB^2 = 4 + BM^2$ (2)
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBA$ (прямой угол при $B$). По теореме Пифагора:
$OA^2 = OB^2 + AB^2$
$8^2 = R^2 + AB^2$
$64 = R^2 + AB^2$ (3)
Подставим выражения для $R^2$ из (1) и $AB^2$ из (2) в уравнение (3):
$64 = (36 + BM^2) + (4 + BM^2)$
$64 = 40 + 2 BM^2$
$2 BM^2 = 64 - 40$
$2 BM^2 = 24$
$BM^2 = 12$
$BM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.
Теперь найдем радиус $R$, используя уравнение (1):
$R^2 = 36 + BM^2 = 36 + 12 = 48$
$R = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.
Для нахождения угла $\angle BDC$ нам нужна угловая мера малой дуги $BC$. Эта мера равна центральному углу $\angle BOC$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle OMB$ (прямой угол при $M$):
$\cos(\angle BOM) = \frac{OM}{OB} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значит, $\angle BOM = 30^\circ$.
Тогда центральный угол $\angle BOC = 2 \times \angle BOM = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
Угловая мера малой дуги $BC$ равна $60^\circ$.
Угол $\angle BDC$ - вписанный угол, опирающийся на малую дугу $BC$ (так как точка $D$ принадлежит большей из дуг $BC$). Величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается.
$\angle BDC = \frac{1}{2} \text{дуги}(BC)_{\text{малой}} = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$.
Переведем угол в радианы:
$\angle BDC = 30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$ радиан