Номер 427, страница 177 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

427. Во вписанном в окружность четырехугольнике $ABCD$ диагонали пересекаются в точке $K$. Известно, что $AB = 6$ см, $BK = 4$ см, $AK = 3$ см, $CD = 7$ см. Найдите $CK$ и $DK$.

Дано:

Вписанный четырехугольник $ABCD$.

Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $K$.

$AB = 6$ см

$BK = 4$ см

$AK = 3$ см

$CD = 7$ см

Перевод в систему СИ:

$AB = 0.06$ м

$BK = 0.04$ м

$AK = 0.03$ м

$CD = 0.07$ м

Найти:

$CK$

$DK$

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle AKB$ и $\triangle DKC$.

Углы $\angle AKB$ и $\angle DKC$ равны как вертикальные.

Углы $\angle KAB$ (или $\angle CAB$) и $\angle KDC$ (или $\angle BDC$) равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $BC$.

Углы $\angle KBA$ (или $\angle DBA$) и $\angle KCD$ (или $\angle ACD$) равны, так как они опираются на одну и ту же дугу $AD$.

Таким образом, треугольники $\triangle AKB$ и $\triangle DKC$ подобны по трем углам (критерий ААА).

Из подобия треугольников следует равенство отношений соответствующих сторон:

$\frac{AK}{DK} = \frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$

Используем первое и третье отношения для нахождения $DK$:

$\frac{AK}{DK} = \frac{AB}{CD}$

Подставляем известные значения:

$\frac{3}{DK} = \frac{6}{7}$

Выразим $DK$:

$6 \cdot DK = 3 \cdot 7$

$6 \cdot DK = 21$

$DK = \frac{21}{6}$

$DK = 3.5$ см

Используем второе и третье отношения для нахождения $CK$:

$\frac{BK}{CK} = \frac{AB}{CD}$

Подставляем известные значения:

$\frac{4}{CK} = \frac{6}{7}$

Выразим $CK$:

$6 \cdot CK = 4 \cdot 7$

$6 \cdot CK = 28$

$CK = \frac{28}{6}$

$CK = \frac{14}{3}$ см, или $CK = 4 \frac{2}{3}$ см

Ответ: $CK = 4 \frac{2}{3}$ см, $DK = 3.5$ см