Номер 422, страница 177 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

422. Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ - единичные, $\vec{i} \perp \vec{j}$. Найдите углы $\triangle ABC$, если $\vec{AB} = 6\vec{i} + 3\vec{j}$ и $\vec{AC} = 3\vec{i} + 9\vec{j}$.

Дано:

Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ являются единичными, то есть их модули равны 1: $|\vec{i}| = 1$ и $|\vec{j}| = 1$.

Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ перпендикулярны: $\vec{i} \perp \vec{j}$. Это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{i} \cdot \vec{j} = 0$.

Заданы векторы сторон треугольника ABC:

$\vec{AB} = 6\vec{i} + 3\vec{j}$

$\vec{AC} = 3\vec{i} + 9\vec{j}$

Перевод в СИ:

Не требуется, так как данные представлены в виде компонент векторов относительно ортонормированного базиса, не имеющих физических единиц измерения.

Найти:

Углы $\triangle ABC$: $\angle A$, $\angle B$, $\angle C$.

Решение:

Векторы $\vec{i}$ и $\vec{j}$ образуют ортонормированный базис. Это позволяет нам работать с векторами как с парами координат:

$\vec{AB} = (6, 3)$

$\vec{AC} = (3, 9)$

Длина (модуль) вектора $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j}$ вычисляется как $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j}$ и $\vec{b} = b_x\vec{i} + b_y\vec{j}$ вычисляется как $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y$.

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ находится по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$.

Рассчитаем длины данных векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = \sqrt{9 \cdot 5} = 3\sqrt{5}$

$|\vec{AC}| = \sqrt{3^2 + 9^2} = \sqrt{9 + 81} = \sqrt{90} = \sqrt{9 \cdot 10} = 3\sqrt{10}$

Угол A:

Угол A треугольника образован векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Вычислим скалярное произведение $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = (6)(3) + (3)(9) = 18 + 27 = 45$

Найдем косинус угла A:

$\cos A = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} = \frac{45}{(3\sqrt{5})(3\sqrt{10})} = \frac{45}{9\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $A = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Угол B:

Угол B треугольника образован векторами $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$.

Вектор $\vec{BA}$ противоположен вектору $\vec{AB}$:

$\vec{BA} = -\vec{AB} = -6\vec{i} - 3\vec{j} = (-6, -3)$

Вектор $\vec{BC}$ найдем как разность векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AB}$ (конечный минус начальный):

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = (3\vec{i} + 9\vec{j}) - (6\vec{i} + 3\vec{j}) = (3-6)\vec{i} + (9-3)\vec{j} = -3\vec{i} + 6\vec{j} = (-3, 6)$

Длина вектора $\vec{BC}$:

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-3)^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$:

$\vec{BA} \cdot \vec{BC} = (-6)(-3) + (-3)(6) = 18 - 18 = 0$

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ перпендикулярны.

Следовательно, $B = 90^\circ$.

Угол C:

Угол C треугольника образован векторами $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$.

Вектор $\vec{CA}$ противоположен вектору $\vec{AC}$:

$\vec{CA} = -\vec{AC} = -3\vec{i} - 9\vec{j} = (-3, -9)$

Вектор $\vec{CB}$ противоположен вектору $\vec{BC}$:

$\vec{CB} = -\vec{BC} = -(-3\vec{i} + 6\vec{j}) = 3\vec{i} - 6\vec{j} = (3, -6)$

Длины векторов $|\vec{CA}|$ и $|\vec{CB}|$ равны длинам $|\vec{AC}|$ и $|\vec{BC}|$ соответственно:

$|\vec{CA}| = |\vec{AC}| = 3\sqrt{10}$

$|\vec{CB}| = |\vec{BC}| = 3\sqrt{5}$

Вычислим скалярное произведение $\vec{CA} \cdot \vec{CB}$:

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = (-3)(3) + (-9)(-6) = -9 + 54 = 45$

Найдем косинус угла C:

$\cos C = \frac{\vec{CA} \cdot \vec{CB}}{|\vec{CA}| |\vec{CB}|} = \frac{45}{(3\sqrt{10})(3\sqrt{5})} = \frac{45}{9\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{50}} = \frac{5}{\sqrt{25 \cdot 2}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Следовательно, $C = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$.

Проверим сумму углов треугольника: $A + B + C = 45^\circ + 90^\circ + 45^\circ = 180^\circ$. Сумма углов равна $180^\circ$, что подтверждает правильность расчетов.

Ответ:

Углы $\triangle ABC$ равны $A = 45^\circ$, $B = 90^\circ$, $C = 45^\circ$.