Номер 428, страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

428. Хорда $AB$ окружности равна ее радиусу. На радиусах $OA$ и $OB$ отложены отрезки $OM$ и $OK$ - такие, что $AM : MO = BK : KO = 2 : 1$. Найдите длину отрезка $MK$, если радиус окружности равен 5 см.

Дано:

Хорда $AB$ окружности равна радиусу $R$.

$AB = R$

Радиус окружности $R = 5$ см.

На радиусах $OA$ и $OB$ отложены отрезки $OM$ и $OK$ соответственно, такие что:

$AM : MO = 2 : 1$

$BK : KO = 2 : 1$

Перевод в систему СИ:

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длину отрезка $MK$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. По условию задачи, хорда $AB$ также равна радиусу окружности, то есть $AB = R$.

2. Поскольку $OA = OB = AB = R$, треугольник $AOB$ является равносторонним.

3. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle AOB = 60^\circ$.

4. На радиусе $OA$ отложен отрезок $OM$ так, что $AM : MO = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $OA$ разделен на $2 + 1 = 3$ равные части. Таким образом, $OM = \frac{1}{3} OA$. Поскольку $OA = R$, имеем $OM = \frac{1}{3} R$.

5. Аналогично, на радиусе $OB$ отложен отрезок $OK$ так, что $BK : KO = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $OB$ также разделен на $3$ равные части. Таким образом, $KO = \frac{1}{3} OB$. Поскольку $OB = R$, имеем $KO = \frac{1}{3} R$.

6. Подставим значение радиуса $R = 5$ см:

$OM = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$ см.

$KO = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$ см.

7. Рассмотрим треугольник $MOK$. Мы знаем, что $OM = \frac{5}{3}$ см и $OK = \frac{5}{3}$ см. Угол между этими сторонами $\angle MOK$ совпадает с углом $\angle AOB$, то есть $\angle MOK = 60^\circ$.

8. Треугольник $MOK$ является равнобедренным ($OM = OK$) с углом при вершине $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, каждый из углов при основании равен $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

9. Поскольку все углы треугольника $MOK$ равны $60^\circ$, треугольник $MOK$ является равносторонним.

10. Следовательно, длина отрезка $MK$ равна $OM$ и $OK$.

$MK = OM = OK = \frac{5}{3}$ см.

Ответ:

Длина отрезка $MK$ равна $\frac{5}{3}$ см.