Страница 178 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

428. Хорда $AB$ окружности равна ее радиусу. На радиусах $OA$ и $OB$ отложены отрезки $OM$ и $OK$ - такие, что $AM : MO = BK : KO = 2 : 1$. Найдите длину отрезка $MK$, если радиус окружности равен 5 см.

Дано:

Хорда $AB$ окружности равна радиусу $R$.

$AB = R$

Радиус окружности $R = 5$ см.

На радиусах $OA$ и $OB$ отложены отрезки $OM$ и $OK$ соответственно, такие что:

$AM : MO = 2 : 1$

$BK : KO = 2 : 1$

Перевод в систему СИ:

$R = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Длину отрезка $MK$.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник $AOB$. Стороны $OA$ и $OB$ являются радиусами окружности, поэтому $OA = OB = R$. По условию задачи, хорда $AB$ также равна радиусу окружности, то есть $AB = R$.

2. Поскольку $OA = OB = AB = R$, треугольник $AOB$ является равносторонним.

3. В равностороннем треугольнике все углы равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle AOB = 60^\circ$.

4. На радиусе $OA$ отложен отрезок $OM$ так, что $AM : MO = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $OA$ разделен на $2 + 1 = 3$ равные части. Таким образом, $OM = \frac{1}{3} OA$. Поскольку $OA = R$, имеем $OM = \frac{1}{3} R$.

5. Аналогично, на радиусе $OB$ отложен отрезок $OK$ так, что $BK : KO = 2 : 1$. Это означает, что отрезок $OB$ также разделен на $3$ равные части. Таким образом, $KO = \frac{1}{3} OB$. Поскольку $OB = R$, имеем $KO = \frac{1}{3} R$.

6. Подставим значение радиуса $R = 5$ см:

$OM = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$ см.

$KO = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}$ см.

7. Рассмотрим треугольник $MOK$. Мы знаем, что $OM = \frac{5}{3}$ см и $OK = \frac{5}{3}$ см. Угол между этими сторонами $\angle MOK$ совпадает с углом $\angle AOB$, то есть $\angle MOK = 60^\circ$.

8. Треугольник $MOK$ является равнобедренным ($OM = OK$) с углом при вершине $60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$. Значит, каждый из углов при основании равен $\frac{180^\circ - 60^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ$.

9. Поскольку все углы треугольника $MOK$ равны $60^\circ$, треугольник $MOK$ является равносторонним.

10. Следовательно, длина отрезка $MK$ равна $OM$ и $OK$.

$MK = OM = OK = \frac{5}{3}$ см.

Ответ:

Длина отрезка $MK$ равна $\frac{5}{3}$ см.

429. Можно ли провести прямую так, чтобы она отсекла от данного треугольника ему подобный и не была параллельной ни одной его стороне, если треугольник:

а) разносторонний;

б) равнобедренный;

в) равносторонний?

Если можно, приведите пример.

Данная задача просит определить, можно ли провести прямую, которая отсечет от исходного треугольника подобный ему треугольник, при этом сама прямая не должна быть параллельна ни одной из сторон исходного треугольника.

Рассмотрим общее свойство подобных треугольников. Если прямая пересекает две стороны треугольника, образуя меньший треугольник, вершина которого совпадает с одной из вершин исходного треугольника, то для того, чтобы этот меньший треугольник был подобен исходному, прямая обязательно должна быть параллельна третьей стороне. Докажем это.

Пусть дан треугольник $\triangle ABC$. Предположим, что прямая пересекает стороны $AB$ и $AC$ в точках $D$ и $E$ соответственно, так что образуется треугольник $\triangle ADE$, где точка $D$ лежит на отрезке $AB$, а точка $E$ — на отрезке $AC$.

Для того чтобы $\triangle ADE$ был подобен $\triangle ABC$ (обозначается как $\triangle ADE \sim \triangle ABC$), должны выполняться следующие условия по признаку подобия по двум углам (AA):

• Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников ($ \angle A = \angle A $).

• Соответствующие углы должны быть равны: $\angle ADE = \angle ABC$ и $\angle AED = \angle ACB$.

Рассмотрим условие $\angle ADE = \angle ABC$. Эти углы являются соответственными углами, образованными при пересечении двух прямых $DE$ и $BC$ секущей $AB$. Согласно теореме о параллельных прямых, если соответственные углы равны, то прямые параллельны. Таким образом, из условия $\angle ADE = \angle ABC$ следует, что прямая $DE$ параллельна стороне $BC$ ($DE \parallel BC$).

Это заключение противоречит условию задачи, которое явно указывает: "и не была параллельной ни одной его стороне". Следовательно, независимо от типа исходного треугольника, провести такую прямую невозможно.

Для разностороннего треугольника это утверждение также верно. Если мы отсекаем подобный треугольник, используя одну из вершин исходного, то линия отсечения будет параллельна противоположной стороне, что запрещено условием. Например, если отсекается треугольник $\triangle ADE$ от вершины $A$, то $DE$ будет параллельна $BC$. Поскольку разносторонний треугольник не имеет равных сторон или углов, это не влияет на условия подобия или параллельности.

Ответ: Нет.

В случае равнобедренного треугольника, например $\triangle ABC$ с $AB = AC$, свойство подобия и параллельности сохраняется. Если мы отсекаем подобный треугольник, например $\triangle ADE$ от вершины $A$, то линия $DE$ все равно будет параллельна основанию $BC$. Если же мы попытаемся отсечь подобный треугольник от одной из вершин при основании, например $\triangle BDF$ от вершины $B$, то $DF$ будет параллельна $AC$. В любом случае, чтобы отсеченный треугольник был подобен исходному и имел общую вершину, линия отсечения должна быть параллельна одной из сторон. Это противоречит условию задачи.

Ответ: Нет.

Для равностороннего треугольника $\triangle ABC$ все углы равны $60^\circ$. Если от него отсекается подобный треугольник $\triangle ADE$, то $\triangle ADE$ также будет равносторонним (поскольку его углы также должны быть $60^\circ$). Чтобы это произошло, прямая $DE$ должна быть параллельна стороне $BC$. Это опять же противоречит условию задачи.

Ответ: Нет.

430. Дан треугольник $ABC$. На стороне $BC$ отмечена точка $D$ так, что $\angle BAD = \angle ACB$, $BD = 4$ см, $BC = 9$ см. Найдите $AB$ и отношение площадей треугольников $ABD$ и $ABC$.

Дано:

Треугольник $ABC$.

Точка $D$ отмечена на стороне $BC$.

$\angle BAD = \angle ACB$.

$BD = 4$ см.

$BC = 9$ см.

Перевод в СИ:

$BD = 0.04$ м

$BC = 0.09$ м

Найти:

$AB$

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}}$

Решение:

AB

Рассмотрим треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBA$.

1. Угол $\angle B$ является общим для обоих треугольников ($\angle ABD = \angle CBA$).

2. По условию задачи, $\angle BAD = \angle ACB$.

На основании этих двух условий (по двум углам), треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle CBA$ подобны по первому признаку подобия треугольников (по двум углам):

$\triangle ABD \sim \triangle CBA$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон. Составим отношение сторон, лежащих напротив равных углов, и сторон, лежащих напротив общих углов:

$\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA} = \frac{AD}{CA}$.

Для нахождения $AB$ используем первое равенство из пропорции:

$\frac{AB}{CB} = \frac{BD}{BA}$.

Подставим известные значения $CB = BC = 9$ см и $BD = 4$ см:

$\frac{AB}{9} = \frac{4}{AB}$.

Выполним перекрестное умножение:

$AB \cdot AB = 9 \cdot 4$.

$AB^2 = 36$.

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения (длина стороны не может быть отрицательной):

$AB = \sqrt{36}$.

$AB = 6$ см.

Ответ: $AB = 6$ см.

отношение площадей треугольников ABD и ABC

Треугольники $\triangle ABD$ и $\triangle ABC$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $A$ на прямую $BC$. Обозначим эту высоту как $h_A$.

Площадь треугольника определяется по формуле: $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для треугольника $\triangle ABD$ основанием является отрезок $BD$, а высотой - $h_A$:

$S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A$.

Для треугольника $\triangle ABC$ основанием является отрезок $BC$, а высотой - $h_A$:

$S_{\triangle ABC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A$.

Найдем отношение площадей этих треугольников:

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot BD \cdot h_A}{\frac{1}{2} \cdot BC \cdot h_A}$.

Сократим общие множители $\frac{1}{2}$ и $h_A$ в числителе и знаменателе:

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{BD}{BC}$.

Подставим известные значения $BD = 4$ см и $BC = 9$ см:

$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4}{9}$.

Ответ: $\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ABC}} = \frac{4}{9}$.

431. a) Постройте прямоугольный треугольник, если даны его ги-потeнуза $c = 8$ см и отношение катетов $b : a = 1 : 2$.

б) Постройте $\triangle ABC$, если $AB : AC = 2 : 3$, $\angle A = 60^\circ$ и биссектриса $AK = 5$ см.

Дано:

Прямоугольный треугольник

Гипотенуза $c = 8$ см

Отношение катетов $b : a = 1 : 2$

Перевод в СИ:

$c = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

Найти:

Построить треугольник.

Решение:

Пусть катеты искомого прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а гипотенуза $c$.

Нам дано отношение катетов $b : a = 1 : 2$, что означает $a = 2b$.

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника имеем: $a^2 + b^2 = c^2$.

Подставим $a = 2b$ в уравнение Пифагора:

$(2b)^2 + b^2 = c^2$

$4b^2 + b^2 = c^2$

$5b^2 = c^2$

Отсюда $b = \frac{c}{\sqrt{5}}$ и $a = \frac{2c}{\sqrt{5}}$.

Поскольку $c = 8$ см, получаем $b = \frac{8}{\sqrt{5}}$ см и $a = \frac{16}{\sqrt{5}}$ см.

Для построения треугольника по гипотенузе и отношению катетов, мы можем использовать углы треугольника. Если $a=2b$, то $\tan A = a/b = 2$. Соответственно, $\angle A = \arctan(2)$. И $\tan B = b/a = 1/2$, так что $\angle B = \arctan(1/2)$. Сумма этих углов равна $90^\circ$, что подтверждает, что угол при вершине $C$ будет прямым.

Алгоритм построения:

1.

Построение гипотенузы:

Проведите отрезок $AB$ длиной $8$ см. Этот отрезок будет гипотенузой искомого прямоугольного треугольника.

2.

Построение вспомогательного треугольника для углов:

Нарисуйте вспомогательную прямую $L$. На ней выберите точку $D$. Отложите на прямой $L$ отрезок $DX = 2$ произвольные единицы (например, $2$ см).

В точке $X$ постройте перпендикуляр к прямой $L$. На этом перпендикуляре отложите отрезок $XY = 1$ произвольную единицу (например, $1$ см).

Соедините точки $D$ и $Y$. Треугольник $DXY$ является прямоугольным с катетами $DX=2$ и $XY=1$. Угол $\angle XDY$ имеет тангенс $XY/DX = 1/2$. Угол $\angle DYX$ имеет тангенс $DX/XY = 2/1 = 2$. Эти углы будут углами нашего искомого треугольника.

3.

Перенос углов:

От точки $B$ отложите угол, равный $\angle XDY$ (т.е. $\arctan(1/2)$), так чтобы одна из его сторон совпадала с отрезком $BA$. Пусть вторая сторона этого угла будет луч $BM$.

От точки $A$ отложите угол, равный $\angle DYX$ (т.е. $\arctan(2)$), так чтобы одна из его сторон совпадала с отрезком $AB$. Пусть вторая сторона этого угла будет луч $AN$.

4.

Нахождение третьей вершины:

Точка пересечения лучей $BM$ и $AN$ является вершиной $C$ искомого прямоугольного треугольника $ABC$. Угол $\angle C$ будет прямым, так как сумма углов $\angle A$ и $\angle B$ (в нашем случае, $\arctan(2)$ и $\arctan(1/2)$) равна $90^\circ$.

Ответ:

Построение описано выше.

Дано:

Треугольник $\triangle ABC$

Отношение сторон $AB : AC = 2 : 3$

Угол $\angle A = 60^\circ$

Биссектриса $AK = 5$ см

Перевод в СИ:

$AK = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Построить $\triangle ABC$.

Решение:

Для построения треугольника с заданным углом, отношением прилегающих сторон и длиной биссектрисы этого угла, мы используем метод подобия.

Воспользуемся формулой для длины биссектрисы: $l_a = \frac{2bc}{b+c} \cos(A/2)$, где $l_a$ - длина биссектрисы $AK$, $b = AC$, $c = AB$.

Пусть $AB = 2k$ и $AC = 3k$ для некоторого коэффициента $k$.

Подставим известные значения в формулу:

$5 = \frac{2 \cdot (3k) \cdot (2k)}{3k + 2k} \cos(60^\circ/2)$

$5 = \frac{12k^2}{5k} \cos(30^\circ)$

$5 = \frac{12k}{5} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$5 = \frac{6k\sqrt{3}}{5}$

$25 = 6k\sqrt{3}$

$k = \frac{25}{6\sqrt{3}} = \frac{25\sqrt{3}}{18}$ см.

Таким образом, $AB = 2k = \frac{25\sqrt{3}}{9}$ см и $AC = 3k = \frac{25\sqrt{3}}{6}$ см. Однако, прямая постройка отрезков с такой длиной без использования численных значений является сложной. Вместо этого мы будем использовать метод масштабирования, основанный на свойствах подобных треугольников.

Алгоритм построения:

1.

Построение вспомогательного треугольника $A'B'C'$:

На произвольном листе бумаги постройте угол $A'$ величиной $60^\circ$.

На одной стороне угла $A'X'$ отложите отрезок $A'B'$ длиной $2$ произвольные единицы (например, $2$ см).

На другой стороне угла $A'Y'$ отложите отрезок $A'C'$ длиной $3$ те же произвольные единицы (например, $3$ см).

Соедините точки $B'$ и $C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ подобен искомому треугольнику $ABC$ (но другого размера).

2.

Построение биссектрисы вспомогательного треугольника:

Постройте биссектрису угла $A'$ треугольника $A'B'C'$. Для этого:

Проведите дугу окружности с центром в $A'$ и произвольным радиусом, которая пересечет стороны $A'B'$ и $A'C'$ в точках $P$ и $Q$ соответственно.

Из точек $P$ и $Q$ как из центров проведите две дуги одинакового радиуса (радиус должен быть достаточно большим, чтобы дуги пересеклись). Точка их пересечения $R$.

Проведите луч $A'R$. Он будет биссектрисой угла $A'$.

Обозначьте точку пересечения биссектрисы $A'R$ со стороной $B'C'$ как $K'$. Длина отрезка $A'K'$ будет $L'$. Измерьте эту длину $L'$ с помощью линейки.

3.

Масштабирование сторон с использованием теоремы Фалеса:

Нарисуйте произвольный луч $L_1$ с началом в точке $O_0$.

Отложите на $L_1$ отрезки $O_0M = L'$ (измеренная длина биссектрисы $A'K'$) и $O_0N = 5$ см (заданная длина биссектрисы $AK$).

Нарисуйте второй произвольный луч $L_2$ с началом в $O_0$, не лежащий на $L_1$.

На луче $L_2$ отложите отрезок $O_0P_1 = A'B'$ (длина $2$ единицы из шага 1) и $O_0P_2 = A'C'$ (длина $3$ единицы из шага 1).

Проведите отрезок $MP_1$.

Через точку $N$ проведите прямую, параллельную $MP_1$, до пересечения с лучом $L_2$ в точке $P'_1$. Длина $O_0P'_1$ будет искомой длиной стороны $AB$ (по теореме Фалеса: $\frac{O_0P'_1}{O_0P_1} = \frac{O_0N}{O_0M}$).

Проведите отрезок $MP_2$.

Через точку $N$ проведите прямую, параллельную $MP_2$, до пересечения с лучом $L_2$ в точке $P'_2$. Длина $O_0P'_2$ будет искомой длиной стороны $AC$.

4.

Построение искомого треугольника $ABC$:

Начните с вершины $A$ и проведите луч $AL$.

Отложите на луче $AL$ отрезок $AB$, равный длине $O_0P'_1$, полученной в шаге 3.

Отложите от луча $AL$ угол $60^\circ$. На второй стороне этого угла $AM$ отложите отрезок $AC$, равный длине $O_0P'_2$, полученной в шаге 3.

Соедините точки $B$ и $C$. Треугольник $ABC$ является искомым.

Для проверки можно построить биссектрису $AK$ угла $A$ и убедиться, что ее длина равна $5$ см.

Ответ:

Построение описано выше.

432. Сформулируйте и обоснуйте признак подобия:

а) двух ромбов;

б) двух параллелограммов.

а) двух ромбов

Признак подобия двух ромбов: два ромба подобны тогда и только тогда, когда у них равны соответствующие углы.

Обоснование: по определению, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. В ромбе все четыре стороны равны. Пусть стороны первого ромба равны $a_1$, а стороны второго ромба равны $a_2$. Тогда отношение любых двух соответствующих сторон будет $a_1/a_2$, что является постоянной величиной для всех пар соответствующих сторон. Следовательно, условие пропорциональности сторон для ромбов выполняется автоматически при любом их размере. Таким образом, единственным условием подобия ромбов является равенство их соответствующих углов. Поскольку сумма смежных углов ромба равна $180^\circ$ (например, $\alpha + \beta = 180^\circ$), то достаточно равенства одной пары соответствующих углов (например, острых углов) для того, чтобы все углы ромбов были равны.

Ответ:

б) двух параллелограммов

Признак подобия двух параллелограммов: два параллелограмма подобны тогда и только тогда, когда их соответствующие углы равны и отношение длин их смежных сторон одинаково.

Обоснование: по определению, два многоугольника подобны, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны. Для параллелограммов это означает выполнение двух условий:
1. Равенство соответствующих углов: в параллелограмме противоположные углы равны, а сумма смежных углов равна $180^\circ$. Таким образом, достаточно равенства одной пары соответствующих углов (например, острых углов) одного параллелограмма соответствующим углам другого, чтобы все углы этих параллелограммов были равны. Пусть $\alpha_1$ и $\alpha_2$ - соответствующие углы параллелограммов. Если $\alpha_1 = \alpha_2$, то и все остальные углы будут равны.
2. Пропорциональность соответствующих сторон: пусть $a_1, b_1$ - длины смежных сторон первого параллелограмма, а $a_2, b_2$ - длины смежных сторон второго параллелограмма. Для подобия необходимо, чтобы отношение соответствующих сторон было постоянным: $a_1/a_2 = b_1/b_2 = k$. Это условие также можно сформулировать как равенство отношений смежных сторон: $a_1/b_1 = a_2/b_2$.
Оба эти условия являются необходимыми и достаточными для подобия параллелограммов. Например, два параллелограмма могут иметь равные углы, но не быть подобными, если отношение их смежных сторон различно (например, квадрат и прямоугольник, не являющийся квадратом). И наоборот, они могут иметь одинаковое отношение смежных сторон, но не быть подобными, если их углы не равны.

Ответ:

433. Какой должна быть ширина прямоугольника, длина которого равна 12 см, чтобы, сложив его пополам, получить два прямоугольника, подобных данному?

Дано

Длина прямоугольника $L = 12 \text{ см}$.

Найти:

Ширина прямоугольника $W$.

Решение

Пусть исходный прямоугольник имеет длину $L$ и ширину $W$. Для того чтобы два прямоугольника были подобны, отношение их соответствующих сторон должно быть одинаковым. Пусть отношение большей стороны к меньшей у исходного прямоугольника равно $\frac{L}{W}$ (мы предполагаем, что $L \ge W$).

Существуют два способа сложить прямоугольник пополам (разрезать его на две равные части):

1. Разрезаем прямоугольник вдоль его длины (перпендикулярно ширине).

При таком разрезании исходный прямоугольник с размерами $L \times W$ делится на два новых прямоугольника, каждый из которых имеет размеры $\frac{L}{2} \times W$.

Рассмотрим возможные случаи для нового прямоугольника:

Случай 1.1: Если $\frac{L}{2}$ является большей стороной нового прямоугольника, а $W$ - меньшей. То есть $\frac{L}{2} \ge W$. Тогда отношение большей стороны к меньшей у нового прямоугольника равно $\frac{L/2}{W}$. Для подобия, это отношение должно быть равно отношению сторон исходного прямоугольника: $\frac{L}{W} = \frac{L/2}{W}$ Это уравнение упрощается до $1 = \frac{1}{2}$, что является ложным. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 1.2: Если $W$ является большей стороной нового прямоугольника, а $\frac{L}{2}$ - меньшей. То есть $W > \frac{L}{2}$. Тогда отношение большей стороны к меньшей у нового прямоугольника равно $\frac{W}{L/2}$. Для подобия: $\frac{L}{W} = \frac{W}{L/2}$ Выполним перекрестное умножение: $L \cdot \frac{L}{2} = W^2$ $\frac{L^2}{2} = W^2$ $W = \sqrt{\frac{L^2}{2}}$ $W = \frac{L}{\sqrt{2}}$ Проверим условие $W > \frac{L}{2}$: $\frac{L}{\sqrt{2}} > \frac{L}{2}$ Разделим обе части на $L$ (поскольку $L > 0$): $\frac{1}{\sqrt{2}} > \frac{1}{2}$ Умножим обе части на $2$: $\frac{2}{\sqrt{2}} > 1$ $\sqrt{2} > 1$. Это условие истинно. Таким образом, это решение является действительным. Подставим значение $L = 12 \text{ см}$: $W = \frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{12\sqrt{2}}{2} = 6\sqrt{2} \text{ см}$. Также проверим наше первоначальное предположение $L \ge W$: $12 \ge 6\sqrt{2}$. Это эквивалентно $144 \ge 36 \cdot 2$, или $144 \ge 72$, что истинно.

2. Разрезаем прямоугольник вдоль его ширины (перпендикулярно длине).

При таком разрезании исходный прямоугольник с размерами $L \times W$ делится на два новых прямоугольника, каждый из которых имеет размеры $L \times \frac{W}{2}$.

Рассмотрим возможные случаи для нового прямоугольника:

Случай 2.1: Если $L$ является большей стороной нового прямоугольника, а $\frac{W}{2}$ - меньшей. То есть $L \ge \frac{W}{2}$. Тогда отношение большей стороны к меньшей у нового прямоугольника равно $\frac{L}{W/2}$. Для подобия: $\frac{L}{W} = \frac{L}{W/2}$ Это уравнение упрощается до $\frac{1}{W} = \frac{2}{W}$, что означает $1=2$, если $W \ne 0$. Это ложно. Следовательно, этот случай невозможен.

Случай 2.2: Если $\frac{W}{2}$ является большей стороной нового прямоугольника, а $L$ - меньшей. То есть $\frac{W}{2} > L$. Тогда отношение большей стороны к меньшей у нового прямоугольника равно $\frac{W/2}{L}$. Для подобия: $\frac{L}{W} = \frac{W/2}{L}$ Выполним перекрестное умножение: $L^2 = W \cdot \frac{W}{2}$ $L^2 = \frac{W^2}{2}$ $W^2 = 2L^2$ $W = \sqrt{2L^2}$ $W = L\sqrt{2}$ Проверим условие $\frac{W}{2} > L$: $\frac{L\sqrt{2}}{2} > L$ Разделим обе части на $L$: $\frac{\sqrt{2}}{2} > 1$ $\sqrt{2} > 2$. Это условие ложно (так как $\sqrt{2} \approx 1.414 < 2$). Следовательно, этот случай также невозможен.

Единственным физически и математически обоснованным решением является $W = 6\sqrt{2} \text{ см}$.

Ответ:

$6\sqrt{2} \text{ см}$.

434. a) Через точку $A$ окружности с центром $O$ проведены касательная $AB$ и хорда $AC$, $D$ – произвольная точка, принадлежащая большей из дуг $AC$, $ \angle BAC = 72^\circ $. Найдите радианную меру угла $ADC$.

б) $AB$ и $AC$ – касательные к окружности с центром $O$ ($B$ и $C$ – точки касания), $D$ – произвольная точка, принадлежащая большей из дуг $BC$, $OA = 8 \text{ см}$, а расстояние от центра окружности до хорды $BC$ – 6 см. Найдите радианную меру угла $BDC$.

a)

Дано:
Окружность с центром $O$.
Через точку $A$ на окружности проведены касательная $AB$ и хорда $AC$.
$D$ - произвольная точка, принадлежащая большей из дуг $AC$.
$\angle BAC = 72^\circ$.

Найти:
Радианную меру угла $\angle ADC$.

Решение:
Угол между касательной $AB$ и хордой $AC$, проведенной через точку касания $A$, равен половине угловой меры дуги $AC$, заключенной внутри этого угла. То есть, $\angle BAC = \frac{1}{2} \text{дуги}(AC)_{\text{малой}}$.
Из условия $\angle BAC = 72^\circ$, получаем, что угловая мера малой дуги $AC$ равна:
$\text{дуга}(AC)_{\text{малая}} = 2 \times \angle BAC = 2 \times 72^\circ = 144^\circ$.
Угол $\angle ADC$ является вписанным углом и опирается на ту же малую дугу $AC$ (так как точка $D$ лежит на большей дуге $AC$). Величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается.
Следовательно, $\angle ADC = \frac{1}{2} \text{дуги}(AC)_{\text{малой}} = \frac{1}{2} \times 144^\circ = 72^\circ$.
Для перевода углов из градусов в радианы используется формула: $\text{угол (радианы)} = \text{угол (градусы)} \times \frac{\pi}{180^\circ}$.
Радианная мера угла $\angle ADC$ составит:
$\angle ADC = 72^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{72\pi}{180} = \frac{2\pi}{5}$ радиан.

Ответ: $\frac{2\pi}{5}$ радиан

б)

Дано:
Касательные $AB$ и $AC$ к окружности с центром $O$.
$B$ и $C$ - точки касания.
$D$ - произвольная точка, принадлежащая большей из дуг $BC$.
$OA = 8 \text{ см}$.
Расстояние от центра окружности до хорды $BC$ (обозначим $OM$) $= 6 \text{ см}$.

Найти:
Радианную меру угла $\angle BDC$.

Решение:
Пусть $R$ - радиус окружности, $R = OB = OC$.
Поскольку $AB$ и $AC$ - касательные, проведенные из одной точки $A$ к окружности, то отрезки касательных $AB = AC$. Также, радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны касательным: $OB \perp AB$ и $OC \perp AC$.
Таким образом, треугольники $\triangle OBA$ и $\triangle OCA$ - прямоугольные с прямыми углами при вершинах $B$ и $C$ соответственно.
Отрезок $OA$ соединяет центр окружности с точкой пересечения касательных. Известно, что $OA$ является биссектрисой угла между касательными $\angle BAC$ и биссектрисой угла $\angle BOC$. Также, $OA$ является перпендикулярной биссектрисой хорды $BC$. Пусть $M$ - точка пересечения $OA$ и $BC$. Тогда $OM \perp BC$, и $M$ - середина $BC$.
По условию, расстояние от центра $O$ до хорды $BC$ равно $6 \text{ см}$, то есть $OM = 6 \text{ см}$.
Поскольку $M$ лежит на отрезке $OA$ (поскольку $OA$ является перпендикулярной биссектрисой $BC$), имеем $OA = OM + MA$.
$8 \text{ см} = 6 \text{ см} + MA$, откуда $MA = 8 - 6 = 2 \text{ см}$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OMB$ (прямой угол при $M$). По теореме Пифагора:
$OB^2 = OM^2 + BM^2$
$R^2 = 6^2 + BM^2$
$R^2 = 36 + BM^2$ (1)
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle AMB$ (прямой угол при $M$, так как $AM$ является частью $OA$, а $OA \perp BC$). По теореме Пифагора:
$AB^2 = AM^2 + BM^2$
$AB^2 = 2^2 + BM^2$
$AB^2 = 4 + BM^2$ (2)
Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OBA$ (прямой угол при $B$). По теореме Пифагора:
$OA^2 = OB^2 + AB^2$
$8^2 = R^2 + AB^2$
$64 = R^2 + AB^2$ (3)
Подставим выражения для $R^2$ из (1) и $AB^2$ из (2) в уравнение (3):
$64 = (36 + BM^2) + (4 + BM^2)$
$64 = 40 + 2 BM^2$
$2 BM^2 = 64 - 40$
$2 BM^2 = 24$
$BM^2 = 12$
$BM = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \text{ см}$.
Теперь найдем радиус $R$, используя уравнение (1):
$R^2 = 36 + BM^2 = 36 + 12 = 48$
$R = \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \text{ см}$.
Для нахождения угла $\angle BDC$ нам нужна угловая мера малой дуги $BC$. Эта мера равна центральному углу $\angle BOC$.
В прямоугольном треугольнике $\triangle OMB$ (прямой угол при $M$):
$\cos(\angle BOM) = \frac{OM}{OB} = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \times 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
Значит, $\angle BOM = 30^\circ$.
Тогда центральный угол $\angle BOC = 2 \times \angle BOM = 2 \times 30^\circ = 60^\circ$.
Угловая мера малой дуги $BC$ равна $60^\circ$.
Угол $\angle BDC$ - вписанный угол, опирающийся на малую дугу $BC$ (так как точка $D$ принадлежит большей из дуг $BC$). Величина вписанного угла равна половине угловой меры дуги, на которую он опирается.
$\angle BDC = \frac{1}{2} \text{дуги}(BC)_{\text{малой}} = \frac{1}{2} \times 60^\circ = 30^\circ$.
Переведем угол в радианы:
$\angle BDC = 30^\circ \times \frac{\pi}{180^\circ} = \frac{30\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$ радиан.

Ответ: $\frac{\pi}{6}$ радиан

435. Найдите радианную меру угла между двумя касательными, проведенными через одну точку, если радианные меры дуг, на которые окружность разделена точками касания, относятся как 3 : 2.

Дано:

Окружность разделена точками касания на две дуги. Обозначим их радианные меры как $L_1$ и $L_2$.

Отношение радианных мер дуг: $L_1 : L_2 = 3 : 2$.

Перевод в систему СИ:

Радианная мера является стандартной единицей для углов в системе СИ. Общая радианная мера всей окружности составляет $2\pi$ радиан.

Найти:

Радианную меру угла $\alpha$ между двумя касательными.

Решение:

Пусть радианные меры двух дуг, на которые окружность разделена точками касания, будут $3x$ и $2x$, в соответствии с заданным отношением.

Сумма радианных мер этих двух дуг равна полной радианной мере окружности, которая составляет $2\pi$ радиан.

Составим уравнение:

$3x + 2x = 2\pi$

Объединим подобные члены:

$5x = 2\pi$

Выразим $x$:

$x = \frac{2\pi}{5}$

Теперь найдем радианные меры каждой дуги:

Меньшая дуга $L_2 = 2x = 2 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{4\pi}{5}$ радиан.

Большая дуга $L_1 = 3x = 3 \cdot \frac{2\pi}{5} = \frac{6\pi}{5}$ радиан.

Проверим, что сумма дуг равна $2\pi$: $L_1 + L_2 = \frac{6\pi}{5} + \frac{4\pi}{5} = \frac{10\pi}{5} = 2\pi$. Сумма верна.

Угол $\alpha$ между двумя касательными, проведенными из одной точки к окружности, равен половине разности радианных мер большей и меньшей дуг, заключенных между точками касания. Формула для угла между двумя касательными:

$\alpha = \frac{1}{2} (L_1 - L_2)$

Подставим найденные значения $L_1$ и $L_2$ в формулу:

$\alpha = \frac{1}{2} \left( \frac{6\pi}{5} - \frac{4\pi}{5} \right)$

Выполним вычитание в скобках:

$\alpha = \frac{1}{2} \left( \frac{6\pi - 4\pi}{5} \right)$

$\alpha = \frac{1}{2} \left( \frac{2\pi}{5} \right)$

Выполним умножение:

$\alpha = \frac{2\pi}{10}$

Сократим дробь:

$\alpha = \frac{\pi}{5}$

Ответ:

Радианная мера угла между двумя касательными равна $\frac{\pi}{5}$ радиан.