Страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, находится вне этого треугольника, а его угол C – наибольший. Найдите величину угла C, если площадь треугольника равна $2\sqrt{3} \text{ м}^2$, $AC = 2 \text{ м}$, $BC = 4 \text{ м}$.

$(120^\circ)$

Дано

Треугольник $ABC$

Площадь треугольника $S_{ABC} = 2\sqrt{3} \text{ м}^2$

$AC = 2 \text{ м}$

$BC = 4 \text{ м}$

Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, находится вне этого треугольника.

Угол $C$ - наибольший угол.

Перевод данных в систему СИ

Все данные уже представлены в системе СИ (метры, квадратные метры), поэтому перевод не требуется.

Найти

Величину угла $C$.

Решение

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ - длины двух сторон, а $\gamma$ - угол между ними. В нашем случае, стороны $AC$ и $BC$ известны, а угол между ними - это угол $C$.

Подставляем известные значения в формулу площади:

$\qquad S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C)$

$\qquad 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin(\angle C)$

Упростим правую часть уравнения:

$\qquad 2\sqrt{3} = 4 \cdot \sin(\angle C)$

Теперь выразим $\sin(\angle C)$:

$\qquad \sin(\angle C) = \frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\qquad \sin(\angle C) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

В интервале углов для треугольника ($0^\circ < \angle C < 180^\circ$), существуют два значения, синус которых равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$: это $60^\circ$ и $120^\circ$.

$\qquad \angle C_1 = 60^\circ$

$\qquad \angle C_2 = 120^\circ$

В условии задачи указано, что точка пересечения прямых, содержащих высоты (ортоцентр), находится вне треугольника. Это характерно для тупоугольных треугольников. Также сказано, что угол $C$ является наибольшим углом в треугольнике. В тупоугольном треугольнике наибольший угол всегда является тупым (т.е. его величина больше $90^\circ$).

Из двух найденных значений для угла $C$, $120^\circ$ является тупым углом, в то время как $60^\circ$ является острым углом. Следовательно, исходя из условия, что угол $C$ является наибольшим и треугольник тупоугольный, мы выбираем значение $120^\circ$.

Ответ:

Угол $C = 120^\circ$.

16. Найдите периметр прямоугольной трапеции, если длины ее оснований равны 8 см и 12 см, а один из углов равен 135°.

$((24 + 4\sqrt{2})\text{ см})$

17. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов ра-

Дано:

Прямоугольная трапеция.

Длины оснований: $a = 12 \text{ см}$, $b = 8 \text{ см}$.

Один из углов: $\alpha = 135^\circ$.

Перевод в СИ:

$a = 12 \text{ см} = 0.12 \text{ м}$

$b = 8 \text{ см} = 0.08 \text{ м}$

$\alpha = 135^\circ = 135 \cdot \frac{\pi}{180} \text{ рад} = \frac{3\pi}{4} \text{ рад}$

Найти:

Периметр трапеции $P$.

Решение:

Пусть дана прямоугольная трапеция ABCD, где AB и CD - основания, а AD - боковая сторона, перпендикулярная основаниям (высота трапеции). Тогда углы при вершинах A и D равны $90^\circ$. То есть, $\angle DAB = 90^\circ$ и $\angle CDA = 90^\circ$.

Сумма углов, прилегающих к одной и той же боковой стороне трапеции, равна $180^\circ$. Для боковой стороны BC это означает $\angle ABC + \angle BCD = 180^\circ$.

Известно, что один из углов трапеции равен $135^\circ$. Поскольку два угла уже $90^\circ$, угол $135^\circ$ должен быть одним из углов $\angle ABC$ или $\angle BCD$. Так как $135^\circ > 90^\circ$, это тупой угол.

В прямоугольной трапеции острый угол всегда находится при большем основании, а тупой — при меньшем, если опускать высоту на большее основание. Или же острый угол находится при меньшем основании, а тупой — при большем, если опускать высоту с меньшего основания на большее. Однако, при любом расположении оснований (какое из них 8 см, а какое 12 см), геометрия треугольника, используемого для нахождения высоты и наклонной стороны, будет одинаковой.

Пусть большее основание $AB = 12$ см, а меньшее основание $CD = 8$ см. В таком случае, тупой угол $135^\circ$ будет $\angle BCD$. Тогда острый угол $\angle ABC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$.

Опустим высоту CE из вершины C на основание AB (точка E лежит на AB). Четырехугольник AECD является прямоугольником. Следовательно, $AE = CD = 8$ см и $CE = AD = h$ (высота трапеции).

Найдем длину отрезка EB: $EB = AB - AE = 12 \text{ см} - 8 \text{ см} = 4$ см.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle CEB$ (прямой угол при E). В этом треугольнике $\angle EBC = \angle ABC = 45^\circ$.

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому $\angle BCE = 180^\circ - \angle CEB - \angle EBC = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$.

Поскольку $\angle EBC = \angle BCE = 45^\circ$, треугольник $\triangle CEB$ является равнобедренным прямоугольным треугольником, и $CE = EB$.

Следовательно, высота трапеции $h = AD = CE = 4$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны BC, используя теорему Пифагора в $\triangle CEB$:

$BC^2 = CE^2 + EB^2$

$BC^2 = 4^2 + 4^2 = 16 + 16 = 32$

$BC = \sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}$ см.

Периметр трапеции P - это сумма длин всех её сторон:

$P = AB + CD + AD + BC$

$P = 12 \text{ см} + 8 \text{ см} + 4 \text{ см} + 4\sqrt{2} \text{ см}$

$P = 24 + 4\sqrt{2}$ см.

Ответ:

$P = (24 + 4\sqrt{2})$ см.

17. В равнобедренном треугольнике один из внешних углов равен 60°, а высота, проведенная к боковой стороне, равна 18 см.

Найдите длину основания треугольника.

(36 см)

Дано:

Треугольник $ABC$ — равнобедренный.
Один из внешних углов равен $60^\circ$.
Высота, проведенная к боковой стороне, $h_b = 18 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$h_b = 18 \text{ см} = 0.18 \text{ м}$ (хотя для данной задачи метры не требуются, так как все величины в сантиметрах и ответ также ожидается в сантиметрах, но для строгости указан перевод).

Найти:

Длина основания $AC$.

Решение:

Пусть данный равнобедренный треугольник будет $ABC$, где $AB = BC$ — боковые стороны, а $AC$ — основание.

1. Определим внутренний угол, соответствующий внешнему углу $60^\circ$. Сумма смежных углов равна $180^\circ$.
Таким образом, внутренний угол равен $180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

2. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если бы угол при основании был $120^\circ$, то сумма двух углов при основании составила бы $120^\circ + 120^\circ = 240^\circ$, что больше $180^\circ$. Это невозможно для треугольника.

3. Следовательно, угол $120^\circ$ является углом при вершине (между равными сторонами). Пусть это будет угол $B = 120^\circ$.

4. Найдем углы при основании. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$.
$ \angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ $
Так как $\angle A = \angle C$ (углы при основании равнобедренного треугольника), то:
$ 2 \angle A + 120^\circ = 180^\circ $
$ 2 \angle A = 180^\circ - 120^\circ $
$ 2 \angle A = 60^\circ $
$ \angle A = \angle C = 30^\circ $.

5. Рассмотрим высоту, проведенную к боковой стороне. Пусть это будет высота $AD$, опущенная из вершины $A$ на боковую сторону $BC$.
Высота $AD$ образует прямоугольный треугольник $ADC$ (угол $D = 90^\circ$).

6. В прямоугольном треугольнике $ADC$ нам известны:

• Гипотенуза — $AC$ (основание, которое мы ищем).
• Катет $AD = 18 \text{ см}$ (заданная высота).
• Угол $C = 30^\circ$.

7. Используем тригонометрическое соотношение синуса в прямоугольном треугольнике: синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.
$ \sin(\angle C) = \frac{AD}{AC} $
$ \sin(30^\circ) = \frac{18}{AC} $

8. Известно, что $ \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} $.
$ \frac{1}{2} = \frac{18}{AC} $
Выразим $AC$:
$ AC = 18 \times 2 $
$ AC = 36 \text{ см} $

Ответ:

$36 \text{ см}$

18. $AB$ и $AC$ – касательные к окружности с центром в точке $O$ ($B$ и $C$ – точки касания). Найдите градусную меру меньшей из дуг $BC$, если расстояние от центра окружности до точки $A$ равно 8 см, а до хорды $BC$ – 6 см.

$(60^\circ)$

Дано:

Окружность с центром в точке $O$.
$AB$ и $AC$ – касательные к окружности ($B$ и $C$ – точки касания).
Расстояние от центра окружности до точки $A$: $OA = 8$ см.
Расстояние от центра окружности до хорды $BC$: $OK = 6$ см (где $K$ – точка пересечения $OA$ с $BC$).

Перевод в СИ:

Все данные представлены в сантиметрах, что является допустимой единицей для решения данной задачи. Перевод в метры не требуется, так как итоговый ответ — градусная мера угла.
$OA = 8$ см
$OK = 6$ см

Найти:

Градусную меру меньшей из дуг $BC$.

Решение:

1. По свойству касательных, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, радиус $OB$ перпендикулярен касательной $AB$, то есть $ \angle OBA = 90^\circ $. Аналогично, $ \angle OCA = 90^\circ $.

2. Отрезок, соединяющий центр окружности $O$ с точкой $A$, из которой проведены касательные, является биссектрисой угла между радиусами, проведенными в точки касания, то есть $OA$ биссектриса $ \angle BOC $. Также $OA$ перпендикулярен хорде $BC$ и делит ее пополам. Пусть $K$ – точка пересечения $OA$ с хордой $BC$. Тогда $OK$ – это расстояние от центра до хорды $BC$, и $ \angle OKB = 90^\circ $.

3. Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $ \triangle OBA $ (прямой угол при вершине $B$) и $ \triangle OKB $ (прямой угол при вершине $K$).

4. Угол $ \angle AOB $ является общим для обоих треугольников (точнее, $ \angle AOB = \angle KOB $).

5. Так как оба треугольника прямоугольные и имеют общий острый угол, они подобны по двум углам ($ \triangle OKB \sim \triangle OBA $).

6. Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $ \frac{OK}{OB} = \frac{OB}{OA} $

7. Пусть $R$ – радиус окружности, то есть $OB = R$. Подставим известные значения $OK = 6$ см и $OA = 8$ см: $ \frac{6}{R} = \frac{R}{8} $

8. Решим полученное уравнение относительно $R$: $ R^2 = 6 \cdot 8 $ $ R^2 = 48 $ $ R = \sqrt{48} = \sqrt{16 \cdot 3} = 4\sqrt{3} $ см.

9. Теперь, зная радиус $R$, найдем косинус угла $ \angle KOB $ в прямоугольном треугольнике $ \triangle OKB $: $ \cos(\angle KOB) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{OK}{OB} $ $ \cos(\angle KOB) = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} $

10. Поскольку $ \cos(\angle KOB) = \frac{\sqrt{3}}{2} $, то $ \angle KOB = 30^\circ $.

11. Так как $OA$ является биссектрисой угла $BOC$, то $ \angle BOC = 2 \cdot \angle KOB $. $ \angle BOC = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ $.

12. Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Таким образом, мера меньшей дуги $BC$ равна $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$

19. Треугольник с углами $40^\circ$, $50^\circ$, $90^\circ$ описан около окружности.
Найдите градусные меры дуг, на которые окружность раздели-
лась точками касания.

($90^\circ$, $130^\circ$, $140^\circ$)

Дано

Углы треугольника: $\alpha = 40^\circ$, $\beta = 50^\circ$, $\gamma = 90^\circ$.

Треугольник описан около окружности.

Найти:

Градусные меры дуг, на которые окружность разделилась точками касания.

Решение

Пусть данный треугольник будет $ABC$ с углами $\angle A = 40^\circ$, $\angle B = 50^\circ$, $\angle C = 90^\circ$.

Пусть окружность касается сторон $BC$, $AC$, $AB$ в точках $T_A$, $T_B$, $T_C$ соответственно. Центр окружности обозначим $O$.

Радиусы, проведенные в точки касания, перпендикулярны соответствующим сторонам треугольника. Например, $OT_A \perp BC$, $OT_B \perp AC$, $OT_C \perp AB$.

Рассмотрим четырехугольник, образованный вершиной треугольника, двумя точками касания на прилегающих к ней сторонах и центром вписанной окружности (например, $AT_C O T_B$).

В таком четырехугольнике два угла при точках касания прямые: $\angle O T_C A = 90^\circ$ и $\angle O T_B A = 90^\circ$.

Сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Следовательно, сумма двух оставшихся углов в четырехугольнике $AT_C O T_B$ равна $360^\circ - 90^\circ - 90^\circ = 180^\circ$.

Таким образом, $\angle T_C O T_B + \angle A = 180^\circ$.

Центральный угол, соответствующий дуге, равен мере этой дуги. Дуга $T_C T_B$ (между точками касания на сторонах, прилегающих к вершине $A$) соответствует центральному углу $\angle T_C O T_B$.

Отсюда, мера дуги $T_C T_B = 180^\circ - \angle A$.

Вычислим меры каждой из трех дуг:

1. Мера дуги, лежащей напротив угла $\angle A = 40^\circ$:

Мера дуги $T_C T_B = 180^\circ - 40^\circ = 140^\circ$.

2. Мера дуги, лежащей напротив угла $\angle B = 50^\circ$:

Мера дуги $T_A T_C = 180^\circ - 50^\circ = 130^\circ$.

3. Мера дуги, лежащей напротив угла $\angle C = 90^\circ$:

Мера дуги $T_B T_A = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Проверим сумму всех дуг: $140^\circ + 130^\circ + 90^\circ = 360^\circ$. Сумма углов окружности верна.

Градусные меры дуг, на которые окружность разделилась точками касания, составляют $90^\circ$, $130^\circ$, $140^\circ$.

$90^\circ, 130^\circ, 140^\circ$.

20. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки 4 см и 21 см. Найдите площадь этого треугольника.

$(84 \text{ см}^2)$

Дано:

Прямоугольный треугольник.

Точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки $x_1 = 4 \text{ см}$ и $x_2 = 21 \text{ см}$.

Перевод в СИ:

$x_1 = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$x_2 = 21 \text{ см} = 0.21 \text{ м}$

Найти:

Площадь треугольника $S$.

Решение:

Пусть катеты прямоугольного треугольника будут $a$ и $b$, а гипотенуза $c$.

Свойство касательных к вписанной окружности гласит, что отрезки касательных, проведенных из одной вершины к окружности, равны.

Если точка касания на гипотенузе делит ее на отрезки $x_1 = 4 \text{ см}$ и $x_2 = 21 \text{ см}$, то эти отрезки соответствуют касательным от вершин острых углов. То есть, часть гипотенузы, примыкающая к одной вершине, равна 4 см, а к другой – 21 см.

Следовательно, гипотенуза $c = x_1 + x_2 = 4 + 21 = 25 \text{ см}$.

Обозначим радиус вписанной окружности как $r$. В прямоугольном треугольнике отрезки касательных от вершины прямого угла до точек касания на катетах равны радиусу вписанной окружности $r$.

Тогда длины катетов можно выразить через эти отрезки и радиус:

• Катет $a = r + x_1 = r + 4$
• Катет $b = r + x_2 = r + 21$

Применим теорему Пифагора для прямоугольного треугольника: $a^2 + b^2 = c^2$.

$(r+4)^2 + (r+21)^2 = 25^2$

Раскроем скобки:

$(r^2 + 8r + 16) + (r^2 + 42r + 441) = 625$

Приведем подобные члены:

$2r^2 + 50r + 457 = 625$

Перенесем 625 в левую часть:

$2r^2 + 50r + 457 - 625 = 0$

$2r^2 + 50r - 168 = 0$

Разделим все члены уравнения на 2:

$r^2 + 25r - 84 = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $r$ с помощью дискриминанта $D = B^2 - 4AC$:

$D = 25^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-84)$

$D = 625 + 336$

$D = 961$

Найдем квадратный корень из дискриминанта:

$\sqrt{D} = \sqrt{961} = 31$

Найдем корни уравнения $r = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A}$:

$r_1 = \frac{-25 + 31}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$r_2 = \frac{-25 - 31}{2} = \frac{-56}{2} = -28$

Поскольку радиус окружности не может быть отрицательным, принимаем значение $r = 3 \text{ см}$.

Теперь найдем длины катетов:

$a = r + 4 = 3 + 4 = 7 \text{ см}$

$b = r + 21 = 3 + 21 = 24 \text{ см}$

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}ab$:

$S = \frac{1}{2} \cdot 7 \text{ см} \cdot 24 \text{ см}$

$S = \frac{1}{2} \cdot 168 \text{ см}^2$

$S = 84 \text{ см}^2$

Ответ: $84 \text{ см}^2$

21. Длина стороны прямоугольника равна 9 см, а величина одного из углов, образованных диагоналями, равна 150°. Найдите площадь прямоугольника.

$(81(2 \pm \sqrt{3}) \text{ см}^2)$

Дано:

Длина одной из сторон прямоугольника $L_1 = 9$ см.

Величина одного из углов, образованных диагоналями, $\alpha = 150^\circ$.

Перевод в СИ:

Длина стороны $L_1 = 9 \text{ см} = 0.09 \text{ м}$.

Угол $\alpha = 150^\circ = \frac{150 \cdot \pi}{180} \text{ радиан} = \frac{5\pi}{6} \text{ радиан}$.

Найти:

Площадь прямоугольника $S$.

Решение:

Пусть прямоугольник будет $ABCD$, а его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$.

В прямоугольнике диагонали равны и делятся точкой пересечения пополам. Следовательно, $AO = BO = CO = DO$.

Обозначим длину половины диагонали за $x$, то есть $AO = BO = CO = DO = x$.

По условию, один из углов, образованных диагоналями, равен $150^\circ$. Пусть $\angle AOB = 150^\circ$.

Тогда смежный с ним угол $\angle BOC = 180^\circ - \angle AOB = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AOB$. Он равнобедренный, так как $AO=BO=x$. Сторона $AB$ является одной из сторон прямоугольника, обозначим ее $a$.

Применим теорему косинусов для треугольника $AOB$:

$a^2 = AO^2 + BO^2 - 2 \cdot AO \cdot BO \cdot \cos(\angle AOB)$

$a^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(150^\circ)$

$a^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$

$a^2 = 2x^2 + x^2\sqrt{3}$

$a^2 = x^2(2 + \sqrt{3})$

Рассмотрим треугольник $BOC$. Он равнобедренный, так как $BO=CO=x$. Сторона $BC$ является другой стороной прямоугольника, обозначим ее $b$.

Применим теорему косинусов для треугольника $BOC$:

$b^2 = BO^2 + CO^2 - 2 \cdot BO \cdot CO \cdot \cos(\angle BOC)$

$b^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos(30^\circ)$

$b^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$b^2 = 2x^2 - x^2\sqrt{3}$

$b^2 = x^2(2 - \sqrt{3})$

По условию, длина одной из сторон прямоугольника равна $9$ см. Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: Заданная сторона $L_1$ соответствует стороне $a$ прямоугольника, т.е. $a = 9$ см.

Подставим $a=9$ в выражение для $a^2$:

$9^2 = x^2(2 + \sqrt{3})$

$81 = x^2(2 + \sqrt{3})$

Найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{81}{2 + \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 - \sqrt{3})$:

$x^2 = \frac{81(2 - \sqrt{3})}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{81(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 81(2 - \sqrt{3})$

Теперь найдем квадрат второй стороны $b^2$:

$b^2 = x^2(2 - \sqrt{3}) = 81(2 - \sqrt{3})(2 - \sqrt{3}) = 81(2 - \sqrt{3})^2$

Извлечем корень, чтобы найти $b$:

$b = \sqrt{81(2 - \sqrt{3})^2} = 9(2 - \sqrt{3})$

Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$:

$S_1 = 9 \cdot 9(2 - \sqrt{3}) = 81(2 - \sqrt{3}) \text{ см}^2$

Случай 2: Заданная сторона $L_1$ соответствует стороне $b$ прямоугольника, т.е. $b = 9$ см.

Подставим $b=9$ в выражение для $b^2$:

$9^2 = x^2(2 - \sqrt{3})$

$81 = x^2(2 - \sqrt{3})$

Найдем $x^2$:

$x^2 = \frac{81}{2 - \sqrt{3}}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(2 + \sqrt{3})$:

$x^2 = \frac{81(2 + \sqrt{3})}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{81(2 + \sqrt{3})}{4 - 3} = 81(2 + \sqrt{3})$

Теперь найдем квадрат первой стороны $a^2$:

$a^2 = x^2(2 + \sqrt{3}) = 81(2 + \sqrt{3})(2 + \sqrt{3}) = 81(2 + \sqrt{3})^2$

Извлечем корень, чтобы найти $a$:

$a = \sqrt{81(2 + \sqrt{3})^2} = 9(2 + \sqrt{3})$

Площадь прямоугольника $S = a \cdot b$:

$S_2 = 9(2 + \sqrt{3}) \cdot 9 = 81(2 + \sqrt{3}) \text{ см}^2$

Таким образом, существуют два возможных значения площади в зависимости от того, какая из сторон прямоугольника имеет длину $9$ см.

Ответ:

Площадь прямоугольника составляет $81(2 \pm \sqrt{3})$ см$^2$.