Номер 15, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

15. Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника ABC, находится вне этого треугольника, а его угол C – наибольший. Найдите величину угла C, если площадь треугольника равна $2\sqrt{3} \text{ м}^2$, $AC = 2 \text{ м}$, $BC = 4 \text{ м}$.

$(120^\circ)$

Дано

Треугольник $ABC$

Площадь треугольника $S_{ABC} = 2\sqrt{3} \text{ м}^2$

$AC = 2 \text{ м}$

$BC = 4 \text{ м}$

Точка пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, находится вне этого треугольника.

Угол $C$ - наибольший угол.

Перевод данных в систему СИ

Все данные уже представлены в системе СИ (метры, квадратные метры), поэтому перевод не требуется.

Найти

Величину угла $C$.

Решение

Площадь треугольника можно вычислить по формуле: $S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)$, где $a$ и $b$ - длины двух сторон, а $\gamma$ - угол между ними. В нашем случае, стороны $AC$ и $BC$ известны, а угол между ними - это угол $C$.

Подставляем известные значения в формулу площади:

$\qquad S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC \cdot \sin(\angle C)$

$\qquad 2\sqrt{3} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 4 \cdot \sin(\angle C)$

Упростим правую часть уравнения:

$\qquad 2\sqrt{3} = 4 \cdot \sin(\angle C)$

Теперь выразим $\sin(\angle C)$:

$\qquad \sin(\angle C) = \frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\qquad \sin(\angle C) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

В интервале углов для треугольника ($0^\circ < \angle C < 180^\circ$), существуют два значения, синус которых равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$: это $60^\circ$ и $120^\circ$.

$\qquad \angle C_1 = 60^\circ$

$\qquad \angle C_2 = 120^\circ$

В условии задачи указано, что точка пересечения прямых, содержащих высоты (ортоцентр), находится вне треугольника. Это характерно для тупоугольных треугольников. Также сказано, что угол $C$ является наибольшим углом в треугольнике. В тупоугольном треугольнике наибольший угол всегда является тупым (т.е. его величина больше $90^\circ$).

Из двух найденных значений для угла $C$, $120^\circ$ является тупым углом, в то время как $60^\circ$ является острым углом. Следовательно, исходя из условия, что угол $C$ является наибольшим и треугольник тупоугольный, мы выбираем значение $120^\circ$.

Ответ:

Угол $C = 120^\circ$.