Номер 10, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

10. a) Найдите площадь ромба, периметр которого равен 2 м, а длины диагоналей относятся как 3 : 4.

б) Найдите сторону ромба, площадь которого равна S, а диагонали относятся как m : n.

(а) 24 дм²; б) $\frac{S}{mn}\sqrt{m^2 + n^2}$

а)

Дано:

Периметр ромба $P = 2$ м

Отношение длин диагоналей $d_1 : d_2 = 3 : 4$

Перевод в СИ:

$P = 2$ м (уже в СИ)

Найти:

Площадь ромба $S_{ромба}$

Решение:

Ромб имеет четыре равные стороны. Пусть сторона ромба равна $a$.

Периметр ромба $P = 4a$.

Известно, что $P = 2$ м, поэтому $4a = 2$ м.

Отсюда сторона ромба $a = \frac{2}{4} = 0.5$ м.

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Это образует четыре прямоугольных треугольника, гипотенузой которых является сторона ромба $a$, а катетами - половины диагоналей $\frac{d_1}{2}$ и $\frac{d_2}{2}$.

По теореме Пифагора:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Дано, что $d_1 : d_2 = 3 : 4$. Введем коэффициент пропорциональности $x$, тогда $d_1 = 3x$ и $d_2 = 4x$.

Подставим значения $a$, $d_1$ и $d_2$ в уравнение Пифагора:

$(0.5)^2 = \left(\frac{3x}{2}\right)^2 + \left(\frac{4x}{2}\right)^2$

$0.25 = \frac{9x^2}{4} + \frac{16x^2}{4}$

$0.25 = \frac{25x^2}{4}$

Умножим обе части на 4:

$1 = 25x^2$

$x^2 = \frac{1}{25}$

$x = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5} = 0.2$ (так как длина не может быть отрицательной)

Теперь найдем длины диагоналей:

$d_1 = 3x = 3 \cdot 0.2 = 0.6$ м

$d_2 = 4x = 4 \cdot 0.2 = 0.8$ м

Площадь ромба $S_{ромба}$ вычисляется по формуле $S_{ромба} = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$.

$S_{ромба} = \frac{0.6 \text{ м} \cdot 0.8 \text{ м}}{2} = \frac{0.48 \text{ м}^2}{2} = 0.24 \text{ м}^2$

Переведем площадь в квадратные дециметры, так как $1$ м $= 10$ дм, то $1$ м$^2 = (10 \text{ дм})^2 = 100$ дм$^2$.

$S_{ромба} = 0.24 \cdot 100 = 24$ дм$^2$.

Ответ: $24$ дм$^2$

б)

Дано:

Площадь ромба $S_{ромба} = S$

Отношение длин диагоналей $d_1 : d_2 = m : n$

Найти:

Сторона ромба $a$

Решение:

Пусть длины диагоналей ромба будут $d_1$ и $d_2$.

Из отношения $d_1 : d_2 = m : n$ следует, что $d_1 = mk$ и $d_2 = nk$ для некоторого коэффициента пропорциональности $k$.

Площадь ромба $S$ выражается через его диагонали по формуле:

$S = \frac{d_1 \cdot d_2}{2}$

Подставим выражения для $d_1$ и $d_2$:

$S = \frac{(mk) \cdot (nk)}{2}$

$S = \frac{mnk^2}{2}$

Выразим $k^2$ из этого уравнения:

$2S = mnk^2$

$k^2 = \frac{2S}{mn}$

Так как $k$ - это коэффициент пропорциональности для длин, он должен быть положительным, поэтому $k = \sqrt{\frac{2S}{mn}}$.

Сторона ромба $a$ связана с его диагоналями по теореме Пифагора, поскольку диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делятся пополам. Следовательно, половина каждой диагонали и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник:

$a^2 = \left(\frac{d_1}{2}\right)^2 + \left(\frac{d_2}{2}\right)^2$

Подставим $d_1 = mk$ и $d_2 = nk$:

$a^2 = \left(\frac{mk}{2}\right)^2 + \left(\frac{nk}{2}\right)^2$

$a^2 = \frac{m^2k^2}{4} + \frac{n^2k^2}{4}$

$a^2 = \frac{k^2(m^2 + n^2)}{4}$

Теперь подставим выражение для $k^2 = \frac{2S}{mn}$ в это уравнение:

$a^2 = \frac{\left(\frac{2S}{mn}\right)(m^2 + n^2)}{4}$

$a^2 = \frac{2S(m^2 + n^2)}{4mn}$

$a^2 = \frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}$

Чтобы найти $a$, извлечем квадратный корень из обеих частей:

$a = \sqrt{\frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}}$

Ответ: $\sqrt{\frac{S(m^2 + n^2)}{2mn}}$