Номер 7, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

7. Длины оснований трапеции равны 25 см и 4 см, а длины боковых сторон – 20 см и 13 см. Найдите площадь трапеции. (174 $см^2$)

Дано:

Длины оснований трапеции: $a = 25 \text{ см}$, $b = 4 \text{ см}$

Длины боковых сторон: $c = 20 \text{ см}$, $d = 13 \text{ см}$

Перевод в СИ:

$a = 25 \text{ см} = 0.25 \text{ м}$

$b = 4 \text{ см} = 0.04 \text{ м}$

$c = 20 \text{ см} = 0.20 \text{ м}$

$d = 13 \text{ см} = 0.13 \text{ м}$

Найти:

Площадь трапеции $S$

Решение:

Площадь трапеции вычисляется по формуле: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h$, где $a$ и $b$ - длины оснований, а $h$ - высота трапеции.

Для нахождения высоты $h$ проведем две высоты из вершин меньшего основания к большему основанию. Обозначим проекции боковых сторон $c$ и $d$ на большее основание как $x$ и $y$ соответственно.

В этом случае, сумма длин этих проекций равна разности длин оснований: $x+y = a-b$.

Из двух образовавшихся прямоугольных треугольников, используя теорему Пифагора, можно записать:

$h^2 + x^2 = c^2 \quad (1)$

$h^2 + y^2 = d^2 \quad (2)$

Из уравнения (1) выразим $h^2$: $h^2 = c^2 - x^2$.

Из уравнения (2) выразим $h^2$: $h^2 = d^2 - y^2$.

Приравняем эти выражения для $h^2$:

$c^2 - x^2 = d^2 - y^2$

Мы знаем, что $y = (a-b) - x$. Подставим это выражение в уравнение:

$c^2 - x^2 = d^2 - ((a-b) - x)^2$

Раскроем скобки в правой части:

$c^2 - x^2 = d^2 - ((a-b)^2 - 2(a-b)x + x^2)$

$c^2 - x^2 = d^2 - (a-b)^2 + 2(a-b)x - x^2$

Сократим $-x^2$ с обеих сторон уравнения:

$c^2 = d^2 - (a-b)^2 + 2(a-b)x$

Выразим $x$:

$2(a-b)x = c^2 - d^2 + (a-b)^2$

$x = \frac{c^2 - d^2 + (a-b)^2}{2(a-b)}$

Подставим числовые значения: $a = 25 \text{ см}$, $b = 4 \text{ см}$, $c = 20 \text{ см}$, $d = 13 \text{ см}$.

Найдем разность оснований: $a-b = 25 \text{ см} - 4 \text{ см} = 21 \text{ см}$.

Теперь вычислим $x$:

$x = \frac{20^2 - 13^2 + 21^2}{2 \cdot 21}$

$x = \frac{400 - 169 + 441}{42}$

$x = \frac{231 + 441}{42}$

$x = \frac{672}{42}$

$x = 16 \text{ см}$

Теперь найдем высоту $h$, используя уравнение (1) ($h^2 = c^2 - x^2$):

$h^2 = 20^2 - 16^2$

$h^2 = 400 - 256$

$h^2 = 144$

$h = \sqrt{144}$

$h = 12 \text{ см}$

Теперь, когда известна высота, можно вычислить площадь трапеции:

$S = \frac{a+b}{2} \cdot h$

$S = \frac{25 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} \cdot 12 \text{ см}$

$S = \frac{29 \text{ см}}{2} \cdot 12 \text{ см}$

$S = 29 \cdot 6 \text{ см}^2$

$S = 174 \text{ см}^2$

В единицах СИ (метры):

$S = 174 \text{ см}^2 = 174 \cdot (10^{-2} \text{ м})^2 = 174 \cdot 10^{-4} \text{ м}^2 = 0.0174 \text{ м}^2$

Ответ:

Площадь трапеции равна $174 \text{ см}^2$.