Номер 2, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

2. Найдите наибольший угол треугольника, если известно, что

один из его углов равен разности двух других.

$90^\circ$

Дано: Пусть углы треугольника будут $\alpha$, $\beta$ и $\gamma$.

Известно, что сумма углов треугольника равна $180^\circ$, то есть $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$.

Также известно, что один из углов равен разности двух других. Без потери общности, предположим, что $\alpha = \beta - \gamma$, где $\beta \ge \gamma$.

Найти: Наибольший угол треугольника.

Решение

У нас есть система из двух уравнений:

1. $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$

2. $\alpha = \beta - \gamma$

Подставим выражение для $\alpha$ из второго уравнения в первое:

$(\beta - \gamma) + \beta + \gamma = 180^\circ$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$\beta - \gamma + \beta + \gamma = 180^\circ$

$2\beta = 180^\circ$

Теперь найдем значение $\beta$:

$\beta = \frac{180^\circ}{2}$

$\beta = 90^\circ$

Таким образом, один из углов треугольника равен $90^\circ$. Это означает, что треугольник является прямоугольным.

В прямоугольном треугольнике сумма двух других углов (острых углов) равна $180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$. Поскольку эти углы должны быть положительными, каждый из них должен быть строго меньше $90^\circ$. Например, если $\beta = 90^\circ$, то из второго уравнения $\alpha = 90^\circ - \gamma$. Поскольку $\alpha > 0$ и $\gamma > 0$, то $\gamma < 90^\circ$ и $\alpha < 90^\circ$.

Следовательно, наибольшим углом в таком треугольнике является прямой угол, то есть $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$