Номер 450, страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

450. Вокруг трапеции $ABCD$ $(BC \parallel AD)$ описана окружность, причем хорды $BC$ и $AD$ лежат по разные стороны от ее центра, $AD = 4\sqrt{3}$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle BDC = 45^\circ$. Найдите длины дуг окружности, концами которых являются соседние вершины трапеции.

Дано:

Трапеция $ABCD$ описана окружностью.

$BC \parallel AD$

Хорды $BC$ и $AD$ лежат по разные стороны от центра.

$AD = 4\sqrt{3}$ см

$BC = 4\sqrt{2}$ см

$\angle BDC = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$AD = 4\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$BC = 4\sqrt{2} \times 10^{-2}$ м

$\angle BDC = 45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{4}$ рад

Найти:

Длины дуг $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

Решение:

Так как вокруг трапеции описана окружность, то эта трапеция является равнобедренной. Следовательно, $AB = CD$ и дуги, стягиваемые этими хордами, равны: $\text{дуга } AB = \text{дуга } CD$.

1. Найдем радиус окружности $R$.

Угол $\angle BDC$ является вписанным углом, который опирается на дугу $BC$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $BC$, равен $2 \cdot \angle BDC$.

$\angle BOC = 2 \cdot \angle BDC = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $BOC$ ($OB=OC=R$) с углом при вершине $90^\circ$ по теореме Пифагора имеем:

$BC^2 = OB^2 + OC^2$

$BC^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

$R^2 = \frac{BC^2}{2}$

$R = \frac{BC}{\sqrt{2}}$

Подставим значение $BC = 4\sqrt{2}$ см:

$R = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ см.

Итак, радиус окружности $R = 4$ см.

2. Найдем центральные углы для каждой хорды.

Длина хорды $L$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ формулой $L = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Для хорды $BC$ мы уже нашли центральный угол $\angle BOC = 90^\circ$.

Переведем в радианы: $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Для хорды $AD = 4\sqrt{3}$ см:

$AD = 2R \sin\left(\frac{\angle AOD}{2}\right)$

$4\sqrt{3} = 2 \cdot 4 \sin\left(\frac{\angle AOD}{2}\right)$

$4\sqrt{3} = 8 \sin\left(\frac{\angle AOD}{2}\right)$

$\sin\left(\frac{\angle AOD}{2}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\frac{\angle AOD}{2} = 60^\circ$.

$\angle AOD = 120^\circ$.

Переведем в радианы: $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Сумма всех центральных углов, составляющих полную окружность, равна $360^\circ$.

$\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360^\circ$.

Так как трапеция равнобедренная, $AB=CD$, то $\angle AOB = \angle COD$.

$2 \cdot \angle AOB + \angle BOC + \angle DOA = 360^\circ$

$2 \cdot \angle AOB + 90^\circ + 120^\circ = 360^\circ$

$2 \cdot \angle AOB + 210^\circ = 360^\circ$

$2 \cdot \angle AOB = 360^\circ - 210^\circ$

$2 \cdot \angle AOB = 150^\circ$

$\angle AOB = 75^\circ$.

Следовательно, $\angle COD = 75^\circ$.

Переведем в радианы: $75^\circ = 75 \cdot \frac{\pi}{180}$ радиан $= \frac{5\pi}{12}$ радиан.

3. Вычислим длины дуг.

Длина дуги $L_{\text{дуги}}$ вычисляется по формуле $L_{\text{дуги}} = R \cdot \alpha_{\text{рад}}$, где $\alpha_{\text{рад}}$ - центральный угол в радианах.

Длина дуги $BC$:

$L_{BC} = R \cdot \angle BOC = 4 \text{ см} \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$ см.

Длина дуги $AD$:

$L_{AD} = R \cdot \angle AOD = 4 \text{ см} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$ см.

Длина дуги $AB$:

$L_{AB} = R \cdot \angle AOB = 4 \text{ см} \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{3}$ см.

Длина дуги $CD$:

$L_{CD} = R \cdot \angle COD = 4 \text{ см} \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{3}$ см.

Ответ:

Длины дуг окружности, концами которых являются соседние вершины трапеции, следующие:

Длина дуги $BC = 2\pi$ см.

Длина дуги $AD = \frac{8\pi}{3}$ см.

Длина дуги $AB = \frac{5\pi}{3}$ см.

Длина дуги $CD = \frac{5\pi}{3}$ см.