Страница 180 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

446. Из точки $B$ к окружности проведены касательная $BA$ ($A$ – точка касания) и секущая, пересекающая окружность в точках $C$ и $D$, причем $C$ лежит между $B$ и $D$. Найдите радиус окружности, если $AB = 24$ см, $BC = 14.4$ см, а расстояние от центра окружности до секущей равно $9.6$ см.

Дано:

$AB = 24 \text{ см}$

$BC = 14.4 \text{ см}$

$h = 9.6 \text{ см}$ (расстояние от центра окружности до секущей, т.е. $OM$)

Перевод в СИ:

$AB = 0.24 \text{ м}$

$BC = 0.144 \text{ м}$

$h = 0.096 \text{ м}$

Найти:

Радиус окружности $R$.

Решение:

Используем теорему о касательной и секущей, проведенных из одной точки $B$ к окружности. Согласно этой теореме, квадрат длины касательной $BA$ равен произведению длины всей секущей $BD$ на длину её внешней части $BC$:

$AB^2 = BC \cdot BD$

Подставим известные значения:

$(24)^2 = 14.4 \cdot BD$

$576 = 14.4 \cdot BD$

Вычислим длину отрезка $BD$:

$BD = \frac{576}{14.4} = 40 \text{ см}$

Так как точка $C$ лежит между $B$ и $D$, то длина отрезка $CD$ (хорды) равна разности $BD$ и $BC$:

$CD = BD - BC$

$CD = 40 \text{ см} - 14.4 \text{ см} = 25.6 \text{ см}$

Пусть $M$ - это точка на хорде $CD$, которая является основанием перпендикуляра, опущенного из центра окружности $O$ на хорду. По свойству хорды, перпендикуляр из центра окружности к хорде делит её пополам. Таким образом, $M$ - середина хорды $CD$, и $OM$ - расстояние от центра до секущей, которое дано в условии.

$CM = \frac{CD}{2} = \frac{25.6 \text{ см}}{2} = 12.8 \text{ см}$

Расстояние от центра окружности $O$ до секущей (т.е. $OM$) равно $9.6 \text{ см}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OMC$. Гипотенуза $OC$ является радиусом окружности $R$. По теореме Пифагора:

$OC^2 = OM^2 + CM^2$

$R^2 = (9.6)^2 + (12.8)^2$

$R^2 = 92.16 + 163.84$

$R^2 = 256$

Извлекаем квадратный корень, чтобы найти радиус $R$:

$R = \sqrt{256}$

$R = 16 \text{ см}$

Ответ:

Радиус окружности равен $16 \text{ см}$.

447.

a) У квадрата со стороной $b$ «срезали» углы так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите сторону этого восьмиугольника.

б) В правильном двенадцатиугольнике со стороной $a$ соединены середины шести сторон, взятых через одну так, что получился правильный шестиугольник. Найдите его сторону.

a) У квадрата со стороной $b$ «срезали» углы так, что получился правильный восьмиугольник. Найдите сторону этого восьмиугольника.

Дано:

сторона квадрата: $b$

Найти:

сторона правильного восьмиугольника: $x$

Решение:

Пусть $x$ – сторона правильного восьмиугольника. При "срезании" углов квадрата образуются четыре равных прямоугольных равнобедренных треугольника по углам. Пусть $y$ – длина катета такого треугольника. Гипотенуза этого треугольника является стороной восьмиугольника.

По теореме Пифагора для такого треугольника: $y^2 + y^2 = x^2$.

$2y^2 = x^2$

$y\sqrt{2} = x$

$y = \frac{x}{\sqrt{2}}$

Сторона квадрата $b$ состоит из двух катетов $y$ и одной стороны восьмиугольника $x$:

$b = y + x + y$

$b = 2y + x$

Подставим выражение для $y$:

$b = 2 \left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right) + x$

$b = \frac{2x}{\sqrt{2}} + x$

$b = x\sqrt{2} + x$

$b = x(\sqrt{2} + 1)$

Выразим $x$:

$x = \frac{b}{\sqrt{2} + 1}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2} - 1)$:

$x = \frac{b(\sqrt{2} - 1)}{(\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)}$

$x = \frac{b(\sqrt{2} - 1)}{2 - 1}$

$x = b(\sqrt{2} - 1)$

Ответ: $b(\sqrt{2} - 1)$

б) В правильном двенадцатиугольнике со стороной $a$ соединены середины шести сторон, взятых через одну так, что получился правильный шестиугольник. Найдите его сторону.

Дано:

сторона правильного двенадцатиугольника: $a$

Найти:

сторона правильного шестиугольника: $s$

Решение:

Рассмотрим правильный двенадцатиугольник с центром в точке $O$. Угол, который образует каждая сторона двенадцатиугольника в центре, равен $360^\circ / 12 = 30^\circ$.

Пусть $R$ – радиус описанной окружности двенадцатиугольника, а $r$ – радиус вписанной окружности (апофема). Сторона $a$ двенадцатиугольника связана с $R$ и $r$ следующими формулами:

$a = 2R \sin\left(\frac{180^\circ}{12}\right) = 2R \sin(15^\circ)$

$r = R \cos\left(\frac{180^\circ}{12}\right) = R \cos(15^\circ)$

Из этих формул можно найти $r$ через $a$:

$R = \frac{a}{2 \sin(15^\circ)}$

$r = \frac{a}{2 \sin(15^\circ)} \cos(15^\circ) = \frac{a}{2 \tan(15^\circ)}$

Новый шестиугольник образован соединением середин шести сторон, взятых через одну. Вершины этого шестиугольника являются серединами сторон двенадцатиугольника. Расстояние от центра двенадцатиугольника до середины любой его стороны равно апофеме $r$. Таким образом, вершины нового шестиугольника находятся на расстоянии $r$ от центра $O$.

Так как это правильный шестиугольник, его сторона $s$ равна радиусу описанной вокруг него окружности. В данном случае, радиус описанной окружности этого шестиугольника равен $r$.

Следовательно, $s = r = \frac{a}{2 \tan(15^\circ)}$.

Найдем значение $\tan(15^\circ)$:

$\tan(15^\circ) = \tan(45^\circ - 30^\circ) = \frac{\tan(45^\circ) - \tan(30^\circ)}{1 + \tan(45^\circ)\tan(30^\circ)}$

$\tan(45^\circ) = 1$

$\tan(30^\circ) = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\tan(15^\circ) = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{3}}}{1 + \frac{1}{\sqrt{3}}} = \frac{\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{3} + 1}$

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{3} - 1)$:

$\tan(15^\circ) = \frac{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1)(\sqrt{3} - 1)} = \frac{(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{3} + 1^2}{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \frac{3 - 2\sqrt{3} + 1}{3 - 1} = \frac{4 - 2\sqrt{3}}{2} = 2 - \sqrt{3}$

Теперь подставим это значение в формулу для $s$:

$s = \frac{a}{2(2 - \sqrt{3})}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив на $(2 + \sqrt{3})$:

$s = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(2^2 - (\sqrt{3})^2)} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(4 - 3)} = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2(1)}$

$s = \frac{a(2 + \sqrt{3})}{2}$

Ответ: $\frac{a(2 + \sqrt{3})}{2}$

448. Стороны разностороннего треугольника равны $8$, $15$, $x$, где $x$ – наибольшая сторона. При каких значениях $x$ этот треугольник является:

а) прямоугольным;

б) тупоугольным;

в) остроугольным?

Дано:

Стороны треугольника: $a=8$, $b=15$, $c=x$.

$x$ — наибольшая сторона.

(Перевод данных в систему СИ не требуется, так как единицы измерения не указаны.)

Найти:

При каких значениях $x$ треугольник является:

а) прямоугольным;

б) тупоугольным;

в) остроугольным.

Решение:

Прежде всего, определим условия существования треугольника и условие, что $x$ является наибольшей стороной.

По неравенству треугольника, сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны. Учитывая, что $x$ — наибольшая сторона, должны выполняться условия:

$8 + 15 > x \Rightarrow 23 > x$

Так как $x$ — наибольшая сторона, она должна быть больше каждой из двух других сторон:

$x > 15$ и $x > 8$. Следовательно, $x > 15$.

Объединяя эти условия, получаем диапазон значений для $x$, при которых существует треугольник, и $x$ является его наибольшей стороной: $15 < x < 23$.

Теперь определим тип треугольника, используя обобщенную теорему Пифагора, где $c$ — наибольшая сторона:

$a^2 + b^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289$.

а) прямоугольным

Треугольник является прямоугольным, если квадрат наибольшей стороны равен сумме квадратов двух других сторон:

$x^2 = 8^2 + 15^2$

$x^2 = 289$

$x = \sqrt{289}$

$x = 17$

Проверим, удовлетворяет ли это значение условию существования треугольника ($15 < x < 23$): $15 < 17 < 23$. Условие выполняется.

Ответ: $x = 17$

б) тупоугольным

Треугольник является тупоугольным, если квадрат наибольшей стороны больше суммы квадратов двух других сторон:

$x^2 > 8^2 + 15^2$

$x^2 > 289$

$x > \sqrt{289}$

$x > 17$

Учитывая условие существования треугольника ($15 < x < 23$) и то, что $x$ — наибольшая сторона ($x > 15$), получаем:

$17 < x < 23$

Ответ: $17 < x < 23$

в) остроугольным

Треугольник является остроугольным, если квадрат наибольшей стороны меньше суммы квадратов двух других сторон:

$x^2 < 8^2 + 15^2$

$x^2 < 289$

$x < \sqrt{289}$

$x < 17$

Учитывая условие существования треугольника ($15 < x < 23$) и то, что $x$ — наибольшая сторона ($x > 15$), получаем:

$15 < x < 17$

Ответ: $15 < x < 17$

449. Высота равнобедренного треугольника, проведенная к его основанию, равна 5 дм, а радиус вписанной в него окружности равен 2 дм. Найдите длину описанной около треугольника окружности.

Дано:

высота равнобедренного треугольника $h = 5 \text{ дм}$

радиус вписанной окружности $r = 2 \text{ дм}$

Переведем данные в систему СИ:

$h = 5 \text{ дм} = 0.5 \text{ м}$

$r = 2 \text{ дм} = 0.2 \text{ м}$

Найти:

длина описанной окружности $C$

Решение:

Для равнобедренного треугольника существует формула, связывающая высоту, проведенную к основанию ($h$), радиус вписанной окружности ($r$) и радиус описанной окружности ($R$):

$R = \frac{(h-r)^2}{2(h-2r)}$

Подставим известные значения $h = 0.5 \text{ м}$ и $r = 0.2 \text{ м}$ в формулу для радиуса описанной окружности $R$:

$R = \frac{(0.5 - 0.2)^2}{2(0.5 - 2 \cdot 0.2)}$

$R = \frac{(0.3)^2}{2(0.5 - 0.4)}$

$R = \frac{0.09}{2(0.1)}$

$R = \frac{0.09}{0.2}$

$R = 0.45 \text{ м}$

Переведем радиус обратно в дециметры для удобства, так как исходные данные были в дециметрах:

$R = 0.45 \text{ м} = 4.5 \text{ дм}$

Длина окружности (или её длина) вычисляется по формуле:

$C = 2 \pi R$

Подставим найденное значение $R$:

$C = 2 \pi \cdot 4.5$

$C = 9 \pi \text{ дм}$

Ответ: $9 \pi \text{ дм}$

450. Вокруг трапеции $ABCD$ $(BC \parallel AD)$ описана окружность, причем хорды $BC$ и $AD$ лежат по разные стороны от ее центра, $AD = 4\sqrt{3}$ см, $BC = 4\sqrt{2}$ см, $\angle BDC = 45^\circ$. Найдите длины дуг окружности, концами которых являются соседние вершины трапеции.

Дано:

Трапеция $ABCD$ описана окружностью.

$BC \parallel AD$

Хорды $BC$ и $AD$ лежат по разные стороны от центра.

$AD = 4\sqrt{3}$ см

$BC = 4\sqrt{2}$ см

$\angle BDC = 45^\circ$

Перевод в СИ:

$AD = 4\sqrt{3} \times 10^{-2}$ м

$BC = 4\sqrt{2} \times 10^{-2}$ м

$\angle BDC = 45^\circ = 45 \times \frac{\pi}{180}$ рад $= \frac{\pi}{4}$ рад

Найти:

Длины дуг $AB$, $BC$, $CD$, $DA$.

Решение:

Так как вокруг трапеции описана окружность, то эта трапеция является равнобедренной. Следовательно, $AB = CD$ и дуги, стягиваемые этими хордами, равны: $\text{дуга } AB = \text{дуга } CD$.

1. Найдем радиус окружности $R$.

Угол $\angle BDC$ является вписанным углом, который опирается на дугу $BC$. Центральный угол, опирающийся на ту же дугу $BC$, равен $2 \cdot \angle BDC$.

$\angle BOC = 2 \cdot \angle BDC = 2 \cdot 45^\circ = 90^\circ$.

В равнобедренном треугольнике $BOC$ ($OB=OC=R$) с углом при вершине $90^\circ$ по теореме Пифагора имеем:

$BC^2 = OB^2 + OC^2$

$BC^2 = R^2 + R^2 = 2R^2$

$R^2 = \frac{BC^2}{2}$

$R = \frac{BC}{\sqrt{2}}$

Подставим значение $BC = 4\sqrt{2}$ см:

$R = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 4$ см.

Итак, радиус окружности $R = 4$ см.

2. Найдем центральные углы для каждой хорды.

Длина хорды $L$ связана с радиусом $R$ и центральным углом $\alpha$ формулой $L = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$.

Для хорды $BC$ мы уже нашли центральный угол $\angle BOC = 90^\circ$.

Переведем в радианы: $90^\circ = \frac{\pi}{2}$ радиан.

Для хорды $AD = 4\sqrt{3}$ см:

$AD = 2R \sin\left(\frac{\angle AOD}{2}\right)$

$4\sqrt{3} = 2 \cdot 4 \sin\left(\frac{\angle AOD}{2}\right)$

$4\sqrt{3} = 8 \sin\left(\frac{\angle AOD}{2}\right)$

$\sin\left(\frac{\angle AOD}{2}\right) = \frac{4\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Так как $\sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то $\frac{\angle AOD}{2} = 60^\circ$.

$\angle AOD = 120^\circ$.

Переведем в радианы: $120^\circ = \frac{2\pi}{3}$ радиан.

Сумма всех центральных углов, составляющих полную окружность, равна $360^\circ$.

$\angle AOB + \angle BOC + \angle COD + \angle DOA = 360^\circ$.

Так как трапеция равнобедренная, $AB=CD$, то $\angle AOB = \angle COD$.

$2 \cdot \angle AOB + \angle BOC + \angle DOA = 360^\circ$

$2 \cdot \angle AOB + 90^\circ + 120^\circ = 360^\circ$

$2 \cdot \angle AOB + 210^\circ = 360^\circ$

$2 \cdot \angle AOB = 360^\circ - 210^\circ$

$2 \cdot \angle AOB = 150^\circ$

$\angle AOB = 75^\circ$.

Следовательно, $\angle COD = 75^\circ$.

Переведем в радианы: $75^\circ = 75 \cdot \frac{\pi}{180}$ радиан $= \frac{5\pi}{12}$ радиан.

3. Вычислим длины дуг.

Длина дуги $L_{\text{дуги}}$ вычисляется по формуле $L_{\text{дуги}} = R \cdot \alpha_{\text{рад}}$, где $\alpha_{\text{рад}}$ - центральный угол в радианах.

Длина дуги $BC$:

$L_{BC} = R \cdot \angle BOC = 4 \text{ см} \cdot \frac{\pi}{2} = 2\pi$ см.

Длина дуги $AD$:

$L_{AD} = R \cdot \angle AOD = 4 \text{ см} \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{8\pi}{3}$ см.

Длина дуги $AB$:

$L_{AB} = R \cdot \angle AOB = 4 \text{ см} \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{3}$ см.

Длина дуги $CD$:

$L_{CD} = R \cdot \angle COD = 4 \text{ см} \cdot \frac{5\pi}{12} = \frac{5\pi}{3}$ см.

Ответ:

Длины дуг окружности, концами которых являются соседние вершины трапеции, следующие:

Длина дуги $BC = 2\pi$ см.

Длина дуги $AD = \frac{8\pi}{3}$ см.

Длина дуги $AB = \frac{5\pi}{3}$ см.

Длина дуги $CD = \frac{5\pi}{3}$ см.

451. На каждой стороне квадрата со стороной $b$, принятой за диаметр, построен полукруг, лежащий внутри квадрата. Найдите площадь полученной розетки (рисунок 210).

Рисунок 210

Рисунок 211

Дано:

Сторона квадрата: $b$

На каждой стороне квадрата построен полукруг, лежащий внутри квадрата, с этой стороной в качестве диаметра.

Найти:

Площадь полученной розетки.

Решение:

1. Обозначим сторону квадрата как $b$. Площадь всего квадрата $S_{квадрата} = b^2$.

2. Каждый полукруг построен на стороне квадрата, поэтому его диаметр равен $b$. Соответственно, радиус каждого полукруга $r = \frac{b}{2}$.

3. Площадь одного полукруга $S_{полукруг} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{1}{2} \pi \frac{b^2}{4} = \frac{\pi b^2}{8}$.

4. Розетка, изображенная на Рисунке 210, состоит из четырех одинаковых лепестков. Каждый такой лепесток образован пересечением двух соседних полукругов.

5. Рассмотрим один из лепестков, например, верхний правый. Он образован дугой полукруга, построенного на верхней стороне квадрата, и дугой полукруга, построенного на правой стороне квадрата. Обе эти дуги проходят через центр квадрата.

6. Найдем площадь одного такого лепестка. Каждый лепесток состоит из двух одинаковых круговых сегментов. Рассмотрим полукруг, построенный на верхней стороне квадрата. Его центр $O_1$ находится в середине этой стороны. Радиус этого полукруга равен $r = b/2$. Дуга этого полукруга проходит через центр квадрата $O_{кв}$ (который является точкой пересечения диагоналей квадрата).

7. Рассмотрим сектор этого полукруга, образованный его центром $O_1$, правым верхним углом квадрата $B$, и центром квадрата $O_{кв}$. Поскольку $O_1B = b/2$ и $O_1O_{кв} = b/2$ (расстояние от середины стороны до центра квадрата равно половине стороны), то треугольник $O_1BO_{кв}$ является прямоугольным и равнобедренным. Угол $BO_1O_{кв}$ равен $90^\circ$ ($\frac{\pi}{2}$ радиан).

8. Площадь такого сектора $S_{сектор} = \frac{1}{4} \pi r^2 = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{b}{2}\right)^2 = \frac{\pi b^2}{16}$.

9. Площадь треугольника $O_1BO_{кв}$ (прямоугольного с катетами $b/2$) равна $S_{треугольник} = \frac{1}{2} \times \text{катет}_1 \times \text{катет}_2 = \frac{1}{2} \times \frac{b}{2} \times \frac{b}{2} = \frac{b^2}{8}$.

10. Площадь одного кругового сегмента (который является половиной лепестка) равна разности площади сектора и площади треугольника: $S_{сегмент} = S_{сектор} - S_{треугольник} = \frac{\pi b^2}{16} - \frac{b^2}{8}$.

11. Каждый лепесток розетки состоит из двух таких одинаковых круговых сегментов (один от верхнего полукруга, другой от правого полукруга). Следовательно, площадь одного лепестка $S_{лепесток} = 2 \times S_{сегмент} = 2 \left(\frac{\pi b^2}{16} - \frac{b^2}{8}\right) = \frac{\pi b^2}{8} - \frac{b^2}{4}$.

12. Поскольку розетка состоит из четырех таких лепестков, ее общая площадь $S_{розетка}$ равна учетверенной площади одного лепестка:

$S_{розетка} = 4 \times S_{лепесток} = 4 \left(\frac{\pi b^2}{8} - \frac{b^2}{4}\right) = \frac{4\pi b^2}{8} - \frac{4b^2}{4} = \frac{\pi b^2}{2} - b^2$.

Ответ:

Площадь полученной розетки: $\frac{\pi b^2}{2} - b^2$.