Страница 181 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

452.

a) Разделите отрезок на две неравные части так, чтобы большая часть являлась средним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью (задача Евклида, вошедшая в историю под названием задачи «о золотом сечении»).

б) Из полукруга вырезаны два других полукруга, как показано на рисунке 211. Докажите, что площадь оставшейся части равна площади круга с диаметром CH (задача Архимеда).

а) Разделите отрезок на две неравные части так, чтобы большая часть являлась средним пропорциональным между всем отрезком и его меньшей частью

Данная задача описывает деление отрезка в пропорции золотого сечения (золотая пропорция, золотое среднее). Пусть длина всего отрезка будет $L$. Разделим его на две части: большую часть $x$ и меньшую часть $y$. Таким образом, $L = x + y$.

Условие задачи гласит, что большая часть ($x$) является средним пропорциональным между всем отрезком ($L$) и его меньшей частью ($y$). Это математически записывается как:

$x^2 = L \cdot y$

Подставим $L = x + y$ в уравнение:

$x^2 = (x + y)y$

$x^2 = xy + y^2$

Перенесем все члены в одну сторону:

$x^2 - xy - y^2 = 0$

Разделим это уравнение на $y^2$ (при условии, что $y \neq 0$):

$\left(\frac{x}{y}\right)^2 - \left(\frac{x}{y}\right) - 1 = 0$

Обозначим отношение $\frac{x}{y}$ как $\phi$ (фи). Это отношение и есть золотое сечение:

$\phi^2 - \phi - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение относительно $\phi$ с помощью формулы корней квадратного уравнения $az^2+bz+c=0$: $z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$. В нашем случае $a=1$, $b=-1$, $c=-1$.

$\phi = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(-1)}}{2(1)}$

$\phi = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2}$

$\phi = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $\phi$ является отношением длин и должно быть положительным, мы выбираем положительный корень:

$\phi = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618$

Это значение золотого сечения. Таким образом, большая часть отрезка относится к меньшей части как $\phi$. Большая часть также относится ко всему отрезку как $1/\phi = \phi - 1 = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$.

Геометрическое построение:

Для того чтобы разделить отрезок $AB$ в пропорции золотого сечения, можно выполнить следующие шаги:

1. Нарисуйте данный отрезок $AB$.

2. В точке $B$ постройте перпендикуляр к отрезку $AB$. Отложите на этом перпендикуляре точку $C$ так, чтобы длина отрезка $BC$ была равна половине длины отрезка $AB$ (т.е. $BC = \frac{1}{2}AB$).

3. Соедините точки $A$ и $C$, образовав прямоугольный треугольник $ABC$.

4. С центром в точке $C$ и радиусом $CB$ проведите дугу, которая пересечет гипотенузу $AC$ в точке $D$.

5. С центром в точке $A$ и радиусом $AD$ проведите дугу, которая пересечет исходный отрезок $AB$ в точке $E$.

Точка $E$ делит отрезок $AB$ на две части: $AE$ и $EB$. Отрезок $AE$ будет большей частью, а $EB$ – меньшей. Пропорция $AE / EB$ будет равна золотому сечению $\phi$.

Доказательство построения:

Пусть $AB = L$. Тогда $BC = L/2$.

В прямоугольном треугольнике $ABC$ по теореме Пифагора:

$AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{L^2 + (L/2)^2} = \sqrt{L^2 + L^2/4} = \sqrt{5L^2/4} = \frac{L\sqrt{5}}{2}$

Поскольку $D$ лежит на $AC$ и $CD = CB = L/2$, то:

$AD = AC - CD = \frac{L\sqrt{5}}{2} - \frac{L}{2} = \frac{L(\sqrt{5}-1)}{2}$

По построению $AE = AD$. Следовательно, большая часть $AE = \frac{L(\sqrt{5}-1)}{2}$.

Меньшая часть $EB = AB - AE = L - \frac{L(\sqrt{5}-1)}{2} = \frac{2L - L\sqrt{5} + L}{2} = \frac{L(3-\sqrt{5})}{2}$.

Проверим условие золотого сечения: большая часть $AE$ должна быть средним пропорциональным между всем отрезком $AB$ и меньшей частью $EB$. То есть, $AE^2 = AB \cdot EB$.

$AE^2 = \left(\frac{L(\sqrt{5}-1)}{2}\right)^2 = \frac{L^2(5 - 2\sqrt{5} + 1)}{4} = \frac{L^2(6 - 2\sqrt{5})}{4} = \frac{L^2(3 - \sqrt{5})}{2}$

$AB \cdot EB = L \cdot \frac{L(3-\sqrt{5})}{2} = \frac{L^2(3-\sqrt{5})}{2}$

Так как $AE^2 = AB \cdot EB$, построение является верным.

Ответ: Отрезок можно разделить с помощью геометрического построения, при котором большая часть $AE$ будет равна $\frac{L(\sqrt{5}-1)}{2}$, где $L$ - длина всего отрезка. Это соответствует делению отрезка в пропорции золотого сечения.

б) Из полукруга вырезаны два других полукруга, как показано на рисунке 211. Докажите, что площадь оставшейся части равна площади круга с диаметром CH (задача Архимеда).

Дано:
Большой полукруг с диаметром $AB$.
Два меньших полукруга с диаметрами $AH$ и $HB$, вырезанные из большого.
$CH$ — отрезок, перпендикулярный $AB$ в точке $H$, где $C$ лежит на дуге большого полукруга.

Найти:
Доказать, что площадь оставшейся заштрихованной части (арбелоса) равна площади круга с диаметром $CH$.

Решение:

Обозначим радиусы полукругов:

Радиус большого полукруга с диаметром $AB$: $R_1$. Тогда $AB = 2R_1$.

Радиус первого меньшего полукруга с диаметром $AH$: $R_2$. Тогда $AH = 2R_2$.

Радиус второго меньшего полукруга с диаметром $HB$: $R_3$. Тогда $HB = 2R_3$.

Из рисунка видно, что диаметр большого полукруга равен сумме диаметров двух меньших полукругов:

$AB = AH + HB$

$2R_1 = 2R_2 + 2R_3$

Отсюда следует связь между радиусами:

$R_1 = R_2 + R_3$

Площадь большого полукруга: $S_{большой} = \frac{1}{2}\pi R_1^2$.

Площадь первого меньшего полукруга: $S_{меньший1} = \frac{1}{2}\pi R_2^2$.

Площадь второго меньшего полукруга: $S_{меньший2} = \frac{1}{2}\pi R_3^2$.

Площадь оставшейся части (арбелоса) $S_{арбелос}$ вычисляется как разность площади большого полукруга и площадей двух вырезанных полукругов:

$S_{арбелос} = S_{большой} - S_{меньший1} - S_{меньший2}$

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi R_1^2 - \frac{1}{2}\pi R_2^2 - \frac{1}{2}\pi R_3^2$

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi (R_1^2 - R_2^2 - R_3^2)$

Теперь подставим $R_1 = R_2 + R_3$ в это выражение:

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi ((R_2 + R_3)^2 - R_2^2 - R_3^2)$

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi (R_2^2 + 2R_2R_3 + R_3^2 - R_2^2 - R_3^2)$

$S_{арбелос} = \frac{1}{2}\pi (2R_2R_3)$

$S_{арбелос} = \pi R_2R_3$

Теперь рассмотрим отрезок $CH$. Точка $C$ лежит на большом полукруге, и $CH$ перпендикулярен диаметру $AB$. Это означает, что треугольник $ACB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $C$ (по свойству угла, опирающегося на диаметр). В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между отрезками, на которые она делит гипотенузу.

Следовательно, по метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике:

$CH^2 = AH \cdot HB$

Подставим $AH = 2R_2$ и $HB = 2R_3$:

$CH^2 = (2R_2)(2R_3)$

$CH^2 = 4R_2R_3$

Выразим произведение $R_2R_3$ через $CH^2$:

$R_2R_3 = \frac{CH^2}{4}$

Теперь подставим это в выражение для $S_{арбелос}$:

$S_{арбелос} = \pi \left(\frac{CH^2}{4}\right)$

Наконец, вычислим площадь круга с диаметром $CH$. Радиус этого круга будет $r_{CH} = \frac{CH}{2}$.

Площадь круга $S_{круг, CH} = \pi r_{CH}^2 = \pi \left(\frac{CH}{2}\right)^2 = \pi \frac{CH^2}{4}$.

Сравнивая выражения для $S_{арбелос}$ и $S_{круг, CH}$, видим, что они равны:

$S_{арбелос} = S_{круг, CH}$

Что и требовалось доказать.

Ответ: Площадь оставшейся части (арбелоса) равна $\pi R_2R_3$, а площадь круга с диаметром $CH$ равна $\pi \frac{CH^2}{4}$. Поскольку $CH^2 = 4R_2R_3$, эти площади равны, что доказывает утверждение.

453. 1A) Дан параллелограмм ABCD. Постройте векторы, равные сумме $\vec{AB} + \vec{AD}$ и разности $\vec{AB} - \vec{AD}$.

2A) В $\triangle ABC$ $\angle C = 90^\circ$, $AC = CB$, $CD$ – медиана. Подобны ли треугольники $ACD$ и $ABC$? Если подобны, то по какому признаку?

3B) Точка $C$ делит хорду $AB$ на отрезки $AC = 6$ см и $CB = 7$ см. Найдите радиус окружности, если $OC = 5,5$ см, где $O$ – центр окружности.

4B) Найдите длину окружности, вписанной в трапецию с основаниями 2 см и 8 см, если около нее можно описать окружность.

5C) Найдите площадь круга, описанного около $\triangle ABC$, если $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AC = 8$ см, $\sin A = 0,5$.

1A) Дан параллелограмм $ABCD$. Постройте векторы, равные сумме $\vec{AB} + \vec{AD}$ и разности $\vec{AB} - \vec{AD}$.

Для построения векторов, равных сумме $\vec{AB} + \vec{AD}$ и разности $\vec{AB} - \vec{AD}$, используется правило параллелограмма.

Построение вектора суммы $\vec{AB} + \vec{AD}$: Из одной точки $A$ отложены векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$. Достроим эти векторы до параллелограмма $ABCD$. Тогда вектор суммы $\vec{AB} + \vec{AD}$ будет равен вектору диагонали $\vec{AC}$, выходящей из той же начальной точки $A$. То есть, $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$.

Построение вектора разности $\vec{AB} - \vec{AD}$: Разность векторов $\vec{AB} - \vec{AD}$ может быть представлена как $\vec{AB} + (-\vec{AD})$. Вектор $-\vec{AD}$ имеет ту же длину, что и $\vec{AD}$, но противоположное направление, то есть $-\vec{AD} = \vec{DA}$. Тогда $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{AB} + \vec{DA}$. По правилу треугольника (или по правилу параллелограмма, но с другой диагональю), если векторы $\vec{DA}$ и $\vec{AB}$ начинаются от точки $D$ и $A$ соответственно, то их сумма равна вектору $\vec{DB}$. Таким образом, $\vec{AB} - \vec{AD} = \vec{DB}$. Вектор разности $\vec{AB} - \vec{AD}$ равен вектору, идущему из конца вектора вычитаемого ($\vec{AD}$) в конец вектора уменьшаемого ($\vec{AB}$), если векторы отложены из одной точки $A$.

Ответ: Для суммы $\vec{AB} + \vec{AD}$ получаем вектор $\vec{AC}$. Для разности $\vec{AB} - \vec{AD}$ получаем вектор $\vec{DB}$.

2A) В $\triangle ABC \angle C = 90^\circ$, $AC = CB$, $CD$ – медиана. Подобны ли треугольники $ACD$ и $ABC$? Если подобны, то по какому признаку?

Решение: Дан $\triangle ABC$ с $\angle C = 90^\circ$ и $AC = CB$. Это означает, что $\triangle ABC$ является равнобедренным прямоугольным треугольником. В равнобедренном прямоугольном треугольнике углы при гипотенузе равны: $\angle A = \angle B = (180^\circ - 90^\circ)/2 = 45^\circ$.

$CD$ – медиана, проведенная к гипотенузе $AB$. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Следовательно, $CD = AD = DB = \frac{1}{2}AB$.

Рассмотрим $\triangle ACD$. Поскольку $AD = CD$, $\triangle ACD$ является равнобедренным треугольником с основанием $AC$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, поэтому $\angle CAD = \angle ACD$. Угол $\angle CAD$ совпадает с углом $\angle A$ треугольника $ABC$, то есть $\angle CAD = 45^\circ$. Следовательно, $\angle ACD = 45^\circ$.

Теперь найдем $\angle ADC$ в $\triangle ACD$: $\angle ADC = 180^\circ - (\angle CAD + \angle ACD) = 180^\circ - (45^\circ + 45^\circ) = 180^\circ - 90^\circ = 90^\circ$.

Теперь сравним $\triangle ACD$ и $\triangle ABC$: 1. Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников: $\angle CAD = \angle CAB = 45^\circ$. 2. Угол $\angle ADC = 90^\circ$ (в $\triangle ACD$) и $\angle ACB = 90^\circ$ (в $\triangle ABC$). Следовательно, $\angle ADC = \angle ACB$.

Поскольку у двух треугольников два соответствующих угла равны ($\angle A$ и прямой угол), то эти треугольники подобны по признаку подобия по двум углам (УУ). Соответствие вершин: $A \leftrightarrow A$, $D \leftrightarrow C$, $C \leftrightarrow B$. Следовательно, $\triangle ADC \sim \triangle ACB$.

Ответ: Треугольники $ACD$ и $ABC$ подобны по признаку подобия по двум углам.

3B) Точка $C$ делит хорду $AB$ на отрезки $AC = 6$ см и $CB = 7$ см. Найдите радиус окружности, если $OC = 5,5$ см, где $O$ – центр окружности.

Дано:
Хорда $AB$
$AC = 6$ см
$CB = 7$ см
$OC = 5.5$ см
$O$ – центр окружности

Перевод в СИ:
$AC = 6$ см $ = 0.06$ м
$CB = 7$ см $ = 0.07$ м
$OC = 5.5$ см $ = 0.055$ м

Найти:
Радиус окружности $R$.

Решение: Используем теорему о степени точки относительно окружности (или о произведении отрезков хорд). Для точки $C$, лежащей на хорде $AB$ внутри окружности, произведение отрезков хорды равно $AC \cdot CB$. Степень точки $C$ относительно окружности также выражается формулой $R^2 - OC^2$, где $R$ – радиус окружности, а $OC$ – расстояние от точки $C$ до центра окружности. Следовательно, мы можем записать: $AC \cdot CB = R^2 - OC^2$

Подставим известные значения: $6 \cdot 7 = R^2 - (5.5)^2$ $42 = R^2 - 30.25$

Теперь выразим $R^2$: $R^2 = 42 + 30.25$ $R^2 = 72.25$

Найдем $R$: $R = \sqrt{72.25}$ $R = 8.5$ см

Ответ: Радиус окружности равен $8.5$ см.

4B) Найдите длину окружности, вписанной в трапецию с основаниями 2 см и 8 см, если около нее можно описать окружность.

Дано:
Трапеция.
Длины оснований: $a = 2$ см, $b = 8$ см.
В трапецию вписана окружность.
Около трапеции можно описать окружность.

Перевод в СИ:
$a = 2$ см $ = 0.02$ м
$b = 8$ см $ = 0.08$ м

Найти:
Длину вписанной окружности $L$.

Решение: Если в трапецию можно вписать окружность, то сумма длин ее противоположных сторон равна. Пусть $a$ и $b$ – основания, а $c$ и $d$ – боковые стороны. Тогда: $a + b = c + d$ $2 + 8 = c + d$ $10 = c + d$

Если около трапеции можно описать окружность, то эта трапеция является равнобедренной. Следовательно, ее боковые стороны равны: $c = d$. Подставим это в уравнение: $10 = c + c$ $10 = 2c$ $c = 5$ см Итак, боковые стороны трапеции равны по $5$ см.

Высота трапеции ($h$) равна диаметру вписанной окружности ($2R$). Найдем высоту трапеции. Опустим перпендикуляры из концов меньшего основания на большее основание. Эти перпендикуляры вместе с боковыми сторонами образуют два прямоугольных треугольника. Длина отрезка большего основания, отсекаемого высотой, равна: $x = \frac{b - a}{2} = \frac{8 - 2}{2} = \frac{6}{2} = 3$ см.

Теперь используем теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников: $h^2 + x^2 = c^2$ $h^2 + 3^2 = 5^2$ $h^2 + 9 = 25$ $h^2 = 25 - 9$ $h^2 = 16$ $h = 4$ см

Высота трапеции $h$ является диаметром вписанной окружности. $2R = h = 4$ см $R = 2$ см

Длина окружности $L$ вычисляется по формуле $L = 2\pi R$: $L = 2\pi \cdot 2$ $L = 4\pi$ см

Ответ: Длина окружности равна $4\pi$ см.

5C) Найдите площадь круга, описанного около $\triangle ABC$, если $AB = 4\sqrt{3}$ см, $AC = 8$ см, $\sin A = 0,5$.

Дано:
$\triangle ABC$
$AB = 4\sqrt{3}$ см
$AC = 8$ см
$\sin A = 0.5$

Перевод в СИ:
$AB = 4\sqrt{3}$ см $ = 0.04\sqrt{3}$ м
$AC = 8$ см $ = 0.08$ м
$\sin A = 0.5$ (безразмерная величина)

Найти:
Площадь описанного круга $S_{circle}$.

Решение: Для нахождения площади круга, описанного около треугольника, необходимо найти его радиус $R_{опис}$. Формула площади круга: $S_{circle} = \pi R_{опис}^2$.

Воспользуемся теоремой синусов: $\frac{a}{\sin A} = 2R_{опис}$, где $a$ – сторона, противолежащая углу $A$. В нашем случае $a = BC$. Для начала найдем сторону $BC$ по теореме косинусов: $BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos A$

Нам дано $\sin A = 0.5$. Угол $A$ в треугольнике может быть $30^\circ$ или $150^\circ$. 1. Если $A = 30^\circ$, то $\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (0.5)^2} = \sqrt{1 - 0.25} = \sqrt{0.75} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. 2. Если $A = 150^\circ$, то $\cos A = -\sqrt{1 - \sin^2 A} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Как правило, если не указано иное, под углом, заданным синусом, подразумевается острый угол. Рассмотрим случай $A = 30^\circ$.

Вычислим $BC$ для $A = 30^\circ$: $BC^2 = (4\sqrt{3})^2 + 8^2 - 2 \cdot (4\sqrt{3}) \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$ $BC^2 = (16 \cdot 3) + 64 - (2 \cdot 4\sqrt{3} \cdot 8 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2})$ $BC^2 = 48 + 64 - (4\sqrt{3} \cdot 4\sqrt{3} \cdot 2)$ $BC^2 = 112 - (16 \cdot 3 \cdot 2)$ $BC^2 = 112 - 96$ $BC^2 = 16$ $BC = \sqrt{16} = 4$ см

Теперь найдем радиус описанной окружности $R_{опис}$ по теореме синусов: $\frac{BC}{\sin A} = 2R_{опис}$ $\frac{4}{0.5} = 2R_{опис}$ $8 = 2R_{опис}$ $R_{опис} = 4$ см

Наконец, найдем площадь описанного круга: $S_{circle} = \pi R_{опис}^2 = \pi (4)^2 = 16\pi$ см$^2$.

Примечание: Если бы угол $A$ был $150^\circ$, то $BC^2 = 208$, $BC = 4\sqrt{13}$ см, а $R_{опис} = 4\sqrt{13}$ см, и площадь была бы $208\pi$ см$^2$. Однако, при отсутствии дополнительных условий, в задачах такого типа, как правило, подразумевается острый угол.

Ответ: Площадь круга равна $16\pi$ см$^2$.