Страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Солтан, Солтан

22. Постройте параллелограмм, симметричный данному параллелограмму:

а) относительно одной из его вершин;

б) относительно одной из его сторон.

Дано: Произвольный параллелограмм $ABCD$.

Найти: Построить параллелограмм $A'B'C'D'$, симметричный данному параллелограмму $ABCD$.

Решение:

а) относительно одной из его вершин

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Выберем вершину $A$ в качестве центра симметрии.

При центральной симметрии относительно точки $A$ каждая точка $X$ отображается в точку $X'$ таким образом, что точка $A$ является серединой отрезка $XX'$.

Последовательность построения:

1. Начертите данный параллелограмм $ABCD$.

2. Выберите одну из вершин, например, $A$, как центр симметрии. Образ вершины $A$ при этой симметрии совпадает с самой вершиной $A$, то есть $A' = A$.

3. Постройте точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно $A$. Для этого проведите прямую через точки $B$ и $A$. На этой прямой отложите от точки $A$ отрезок $AB'$, равный отрезку $AB$, в направлении, противоположном вектору $\vec{AB}$. То есть, $A$ должна быть серединой отрезка $BB'$.

4. Аналогично, постройте точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно $A$. Проведите прямую через точки $D$ и $A$. На этой прямой отложите от точки $A$ отрезок $AD'$, равный отрезку $AD$, в направлении, противоположном вектору $\vec{AD}$. То есть, $A$ должна быть серединой отрезка $DD'$.

5. Постройте точку $C'$, симметричную точке $C$ относительно $A$. Проведите прямую через точки $C$ и $A$. На этой прямой отложите от точки $A$ отрезок $AC'$, равный отрезку $AC$, в направлении, противоположном вектору $\vec{AC}$. То есть, $A$ должна быть серединой отрезка $CC'$.

6. Соедините последовательно точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ (то есть $AB'C'D'$) является искомым параллелограммом. Он будет иметь стороны, направленные как $\vec{A'B'} = -\vec{AB}$ и $\vec{A'D'} = -\vec{AD}$.

Ответ: Параллелограмм $AB'C'D'$, полученный в результате центральной симметрии исходного параллелограмма $ABCD$ относительно его вершины $A$.

б) относительно одной из его сторон

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Выберем сторону $AB$ в качестве оси симметрии.

При осевой симметрии относительно прямой $L$ каждая точка $X$ отображается в точку $X'$ таким образом, что прямая $L$ является серединным перпендикуляром отрезка $XX'$. Точки, лежащие на оси симметрии, переходят сами в себя.

Последовательность построения:

1. Начертите данный параллелограмм $ABCD$.

2. Выберите одну из сторон, например, $AB$, как ось симметрии. Вершины $A$ и $B$ лежат на оси симметрии, поэтому их образы совпадают с ними самими: $A' = A$ и $B' = B$.

3. Постройте точку $D'$, симметричную точке $D$ относительно прямой $AB$. Для этого опустите перпендикуляр из точки $D$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Пусть основание перпендикуляра будет точка $P$. На продолжении этого перпендикуляра за точку $P$ отложите отрезок $PD'$, равный отрезку $DP$. Точка $D'$ — это симметричное изображение точки $D$.

4. Аналогично, постройте точку $C'$, симметричную точке $C$ относительно прямой $AB$. Для этого опустите перпендикуляр из точки $C$ на прямую, содержащую сторону $AB$. Пусть основание перпендикуляра будет точка $Q$. На продолжении этого перпендикуляра за точку $Q$ отложите отрезок $QC'$, равный отрезку $CQ$. Точка $C'$ — это симметричное изображение точки $C$.

5. Соедините последовательно точки $A'$, $B'$, $C'$, $D'$. Полученный четырехугольник $A'B'C'D'$ (то есть $ABC'D'$) является искомым параллелограммом.

Ответ: Параллелограмм $ABC'D'$, полученный в результате осевой симметрии исходного параллелограмма $ABCD$ относительно его стороны $AB$.

23. В данный треугольник $ABC$ с помощью циркуля и линейки впишите ромб $AKPH$ так, чтобы его сторона $AH$ лежала на стороне $AC$ треугольника, а вершины $K$ и $P$ – на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно.

(Сначала постройте ромб $AK_1P_1H_1$ так, чтобы точка $K_1$ лежала на стороне $AB$, а точка $H_1$ – на стороне $AC$. Затем, используя гомотетию с центром в точке $A$, отображающую точку $P_1$ в точку $P$, принадлежащую стороне $BC$, постройте ромб $AKPH$)

Дано:

Треугольник $ABC$.

Найти:

Вписать ромб $AKPH$ в треугольник $ABC$ так, чтобы его сторона $AH$ лежала на стороне $AC$ треугольника, а вершины $K$ и $P$ — на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно.

Решение:

Задача по построению ромба $AKPH$ в заданном треугольнике $ABC$ решается с использованием метода гомотетии, как предложено в условии.

Этап 1: Построение вспомогательного ромба $AK_1P_1H_1$.

1. Начертите произвольный треугольник $ABC$.

2. С помощью циркуля, установив его острие в вершину $A$, проведите дугу произвольного радиуса $r$. Эта дуга должна пересечь сторону $AB$ в точке $K_1$ и сторону $AC$ в точке $H_1$. Таким образом, $AK_1 = AH_1 = r$.

3. Из точки $K_1$ (как центра) проведите дугу тем же радиусом $r$.

4. Из точки $H_1$ (как центра) проведите дугу тем же радиусом $r$.

5. Точка пересечения этих двух дуг, которая отлична от $A$, обозначается как $P_1$. Соедините отрезками точки $K_1$ с $P_1$ и $H_1$ с $P_1$. Полученный четырехугольник $AK_1P_1H_1$ является ромбом, так как все его стороны равны $r$ ($AK_1 = AH_1 = K_1P_1 = P_1H_1 = r$).

Этап 2: Построение искомого ромба $AKPH$ с использованием гомотетии.

6. Проведите луч, начинающийся в вершине $A$ и проходящий через точку $P_1$.

7. Точка пересечения луча $AP_1$ со стороной $BC$ треугольника $ABC$ является вершиной $P$ искомого ромба $AKPH$.

8. Через точку $P$ проведите прямую, параллельную стороне $AC$. Эта прямая пересечет сторону $AB$ треугольника в точке $K$. (Это следует из свойства гомотетии: так как $K_1P_1 \parallel AC$, то и $KP \parallel AC$).

9. Через точку $P$ проведите прямую, параллельную стороне $AB$. Эта прямая пересечет сторону $AC$ треугольника в точке $H$. (Это следует из свойства гомотетии: так как $H_1P_1 \parallel AB$, то и $HP \parallel AB$).

10. Соедините точки $K$ и $H$. Четырехугольник $AKPH$ является искомым ромбом.

    Доказательство того, что $AKPH$ является ромбом:

    По построению, $PK \parallel AH$ (так как $PK \parallel AC$) и $PH \parallel AK$ (так как $PH \parallel AB$). Следовательно, четырехугольник $AKPH$ является параллелограммом. Ромб $AKPH$ получен из ромба $AK_1P_1H_1$ гомотетией с центром в точке $A$. Гомотетия сохраняет форму фигуры, поэтому образ ромба также является ромбом. Кроме того, поскольку $AK_1 = AH_1$, а гомотетия пропорционально изменяет длины отрезков, то $AK = AH$, что подтверждает, что параллелограмм $AKPH$ с равными смежными сторонами является ромбом.

Ответ:

Алгоритм построения ромба $AKPH$ в треугольнике $ABC$ с использованием циркуля и линейки описан выше.

24. По транспортеру $AB = a$ поднимают груз (рисунок 1). На расстоянии $AM = b$ от основания транспортера установлено крепление $MN$ высотой $m$. Выразите высоту $BC$ подъема груза через указанные данные.

Рисунок 1

$(\frac{am}{b})$

Дано:

Длина транспортера $AB = a$

Расстояние от основания $AM = b$

Высота крепления $MN = m$

Данные представлены в общих обозначениях, перевод в систему СИ не требуется.

Найти:

Высота подъема груза $BC$

Решение:

Рассмотрим два прямоугольных треугольника: $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$.

Угол $\angle A$ является общим для обоих треугольников. Так как $MN$ и $BC$ являются высотами, они перпендикулярны горизонтальной линии $AC$. Следовательно, углы $\angle ANM$ и $\angle ACB$ являются прямыми ($90^\circ$).

По признаку подобия по двум углам, треугольники $\triangle AMN$ и $\triangle ABC$ подобны: $\triangle AMN \sim \triangle ABC$.

Из подобия треугольников следует отношение соответствующих сторон:

$ \frac{MN}{BC} = \frac{AM}{AB} $

Подставим известные значения из условия задачи:

$ \frac{m}{BC} = \frac{b}{a} $

Чтобы найти $BC$, выразим его из этого уравнения:

$ BC \cdot b = m \cdot a $

$ BC = \frac{m \cdot a}{b} $

Ответ:

Высота подъема груза $BC$ выражается как $BC = \frac{am}{b}$.

25. Дан треугольник $ABC$. На стороне $AC$ отмечена точка $K$ так, что $AK = 4$ см, $AC = 9$ см, $\angle ABK = \angle BCK$. Найдите $AB$ и отношение площадей треугольников $ABK$ и $ABC$.

($6$ см, $4 : 9$)

Дано:

Треугольник ABC.

Точка K лежит на стороне AC.

$AK = 4$ см

$AC = 9$ см

$\angle ABK = \angle BCK$

Перевод в СИ:

$AK = 4 \cdot 10^{-2}$ м

$AC = 9 \cdot 10^{-2}$ м

Найти:

Длину стороны AB.

Отношение площадей треугольников ABK и ABC, т.е. $\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}}$.

Решение:

Рассмотрим треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ACB$.

1. Угол $A$ (или $\angle KAB$) является общим для обоих треугольников: $\angle KAB = \angle CAB$.

2. По условию задачи, $\angle ABK = \angle BCK$. Поскольку точка K лежит на стороне AC, угол $\angle BCK$ совпадает с углом $\angle BCA$ треугольника $\triangle ACB$. Таким образом, мы имеем $\angle ABK = \angle BCA$.

Исходя из двух совпавших углов, по признаку подобия треугольников по двум углам (AA), получаем, что $\triangle ABK \sim \triangle ACB$.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB} = \frac{BK}{CB}$

Воспользуемся первой частью пропорции для нахождения стороны AB:

$\frac{AB}{AC} = \frac{AK}{AB}$

$AB^2 = AK \cdot AC$

Подставим известные значения $AK = 4$ см и $AC = 9$ см:

$AB^2 = 4 \text{ см} \cdot 9 \text{ см}$

$AB^2 = 36 \text{ см}^2$

$AB = \sqrt{36 \text{ см}^2}$

$AB = 6 \text{ см}$

Теперь найдем отношение площадей треугольников $ABK$ и $ABC$.

Треугольники $\triangle ABK$ и $\triangle ABC$ имеют общую высоту, опущенную из вершины $B$ на прямую $AC$. Пусть эта высота равна $h_B$.

Площадь треугольника вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2} \cdot \text{основание} \cdot \text{высота}$.

Для $\triangle ABK$: $S_{ABK} = \frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_B$

Для $\triangle ABC$: $S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B$

Найдем отношение площадей:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AK \cdot h_B}{\frac{1}{2} \cdot AC \cdot h_B}$

Сократим общие множители $\frac{1}{2}$ и $h_B$:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{AK}{AC}$

Подставим известные значения $AK = 4$ см и $AC = 9$ см:

$\frac{S_{ABK}}{S_{ABC}} = \frac{4 \text{ см}}{9 \text{ см}} = \frac{4}{9}$

Ответ:

Длина стороны AB = 6 см.

Отношение площадей треугольников ABK и ABC = 4 : 9.

26. Сколько сторон имеет выпуклый многоугольник, сумма углов которого вдвое больше суммы углов выпуклого девятиугольника?

(16)

Дано

Сумма углов выпуклого многоугольника с $n$ сторонами вычисляется по формуле $S = (n - 2) \times 180^\circ$.

Имеется первый выпуклый многоугольник с $n_1$ сторонами и суммой углов $S_1$.

Имеется второй выпуклый многоугольник, который является девятиугольником, то есть имеет $n_2 = 9$ сторон, и сумму углов $S_2$.

Известно, что сумма углов первого многоугольника вдвое больше суммы углов девятиугольника: $S_1 = 2 \times S_2$.

Перевод в СИ

Единицы измерения (градусы) соответствуют стандартным для геометрических вычислений и не требуют перевода в систему СИ.

Найти:

Количество сторон первого выпуклого многоугольника, $n_1$.

Решение

1. Сначала найдем сумму углов выпуклого девятиугольника ($S_2$).

Для девятиугольника количество сторон $n_2 = 9$.

Используем формулу для суммы углов многоугольника:

$S_2 = (n_2 - 2) \times 180^\circ$

Подставим значение $n_2$:

$S_2 = (9 - 2) \times 180^\circ$

$S_2 = 7 \times 180^\circ$

$S_2 = 1260^\circ$

2. Теперь найдем сумму углов первого многоугольника ($S_1$).

По условию задачи, сумма углов первого многоугольника вдвое больше суммы углов девятиугольника:

$S_1 = 2 \times S_2$

Подставим найденное значение $S_2$:

$S_1 = 2 \times 1260^\circ$

$S_1 = 2520^\circ$

3. Используем полученную сумму углов $S_1$ для определения количества сторон $n_1$ первого многоугольника.

Воспользуемся той же формулой для суммы углов, но для первого многоугольника:

$S_1 = (n_1 - 2) \times 180^\circ$

Подставим значение $S_1 = 2520^\circ$:

$2520^\circ = (n_1 - 2) \times 180^\circ$

Разделим обе части уравнения на $180^\circ$:

$\frac{2520}{180} = n_1 - 2$

$14 = n_1 - 2$

Чтобы найти $n_1$, прибавим 2 к обеим частям уравнения:

$n_1 = 14 + 2$

$n_1 = 16$

Ответ:

Выпуклый многоугольник имеет 16 сторон.

27. Боковые стороны трапеции равны 3 см и 5 см. Найдите периметр этой трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность.

(16 см)

Дано:

Боковые стороны трапеции: $c_1 = 3$ см, $c_2 = 5$ см.

В трапецию можно вписать окружность.

Перевод в СИ:

$c_1 = 3 \text{ см} = 0.03 \text{ м}$

$c_2 = 5 \text{ см} = 0.05 \text{ м}$

Найти:

Периметр трапеции ($P$).

Решение:

Пусть $a$ и $b$ - длины оснований трапеции, а $c_1$ и $c_2$ - длины боковых сторон.

По условию задачи, $c_1 = 3$ см и $c_2 = 5$ см.

Известно, что в трапецию можно вписать окружность. Согласно свойству четырехугольника, в который можно вписать окружность, сумма длин противоположных сторон равна. Для трапеции это означает, что сумма длин оснований равна сумме длин боковых сторон:

$a + b = c_1 + c_2$

Периметр трапеции $P$ равен сумме длин всех ее сторон:

$P = a + b + c_1 + c_2$

Подставим выражение для $a + b$ из свойства в формулу периметра:

$P = (c_1 + c_2) + (c_1 + c_2)$

$P = 2(c_1 + c_2)$

Теперь подставим заданные значения боковых сторон:

$P = 2(3 \text{ см} + 5 \text{ см})$

$P = 2(8 \text{ см})$

$P = 16 \text{ см}$

Ответ:

$P = 16$ см.